Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
22-)\left(\frac{\sqrt{2 n^{2}+1}}{n}\right)_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_n = \frac{\sqrt{2n^2 + 1}}{n}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o cálculo de limites de sequências, usando manipulação algébrica de radicais.

Passo 2

Simplificamos a_n extraindo n^2 debaixo da raiz:
a_n = \frac{\sqrt{2n^2 + 1}}{n} = \frac{\sqrt{n^2\Bigl(2 + \frac{1}{n^2}\Bigr)}}{n} = \frac{n\sqrt{2 + \frac{1}{n^2}}}{n} = \sqrt{2 + \frac{1}{n^2}}.

Passo 3

Observando que \frac{1}{n^2}\to0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\sqrt{2 + \frac{1}{n^2}} = \sqrt{2 + 0} = \sqrt{2}.

Passo 4

Como o limite existe e é finito, concluímos que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_n = \sqrt{2}.

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