Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
23-)\left(\arctan \left(\frac{n+2}{2}\right)\right)_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da sequência
a_n = \arctan\!\bigl(\tfrac{n+2}{2}\bigr),
onde n\in\mathbb{N}^*. O conteúdo principal é limitação de sequência e uso da continuidade da função \arctan.

Passo 2

Observe a parte interna da arctan, que é a sequência
b_n = \frac{n+2}{2}.
Essa é uma sequência afim de coeficiente positivo, logo é estritamente crescente.

Passo 3

Calcule o limite de b_n quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{2} = \infty.

Passo 4

Como \arctan(x) é contínua em todo \mathbb{R} e satisfaz
\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)=\frac{\pi}{2},
pode‐se passar o limite interno para fora:
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\arctan(b_n) = \arctan\!\bigl(\lim_{n\to\infty}b_n\bigr) = \arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}.

Passo 5

Concluímos que (a_n) converge e seu limite é \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\arctan\!\bigl(\tfrac{n+2}{2}\bigr) = \frac{\pi}{2}.

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