Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
29-)\left(\frac{\operatorname{sen}^{3} n}{n}\right)_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
\left(\frac{\sin^3 n}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^*}
converge ou diverge. O método principal será usar o Teorema do Confronto em sequências reais, aproveitando que \sin x é limitada.

Passo 2

Sabemos que para todo n vale
-1 \;\le\;\sin n\;\le\;1.
Elevando ao cubo, como a função x\mapsto x^3 é crescente em \mathbb{R}, obtemos
-1 \;\le\;\sin^3 n\;\le\;1.

Passo 3

Como n>0, podemos dividir a desigualdade anterior por n sem inverter sinais:
-\frac{1}{n}\;\le\;\frac{\sin^3 n}{n}\;\le\;\frac{1}{n}.

Passo 4

As sequências \bigl(-\tfrac{1}{n}\bigr) e \bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) têm ambas limite zero quando n\to\infty, pois
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\Bigl(-\frac{1}{n}\Bigr)=0.

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, a sequência aprisionada entre estas duas que convergem para zero também converge para zero. Logo,
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin^3 n}{n}=0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin^3 n}{n}=0.

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