Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=e^{4 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de terceira ordem
y''' - 2y'' - y' + 2y = e^{4x}.
O conteúdo é equações diferenciais lineares de coeficientes constantes com termo não-homogêneo. Para resolver, vamos (1) achar a solução homogênea usando a equação característica e (2) encontrar uma solução particular por método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

A parte homogênea é
y''' - 2y'' - y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^3 - 2r^2 - r + 2 = 0.
Fatorando por agrupamento:
r^2(r - 2) -1(r - 2) = (r^2 - 1)(r - 2) = (r - 1)(r + 1)(r - 2) = 0.
Logo as raízes são r=1, r=-1 e r=2, e a solução homogênea é
y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} + C_3 e^{2x}.

Passo 3

Para a solução particular y_p do termo e^{4x}, como r=4 não é raiz da característica, usamos o ansatz
y_p = A e^{4x},
com A constante a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
y_p' = 4A e^{4x},\quad y_p'' = 16A e^{4x},\quad y_p''' = 64A e^{4x}.
Substituindo na EDO original:
(64A -2\cdot16A -4A +2A)e^{4x} = (64A -32A -4A +2A)e^{4x} = 30A\,e^{4x}.
Queremos 30A\,e^{4x}=e^{4x}, logo
30A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{1}{30}.
Assim
y_p = \frac{1}{30}e^{4x}.

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} + C_3 e^{2x} + \frac{1}{30}e^{4x}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} + C_3 e^{2x} + \frac{1}{30}e^{4x}.

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