Determinar se a série é convergente ou divergente.
(e) sumn=1^infty cos (pi n)raizn

Passo 1

No enunciado temos a série sumn=1^infty cos(pi n)raizn. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste de séries alternantes (teste de Leibniz).

Passo 2

Primeiro, note que cos(pi n)=(-1)^n. Assim a série fica sumn=1^infty (-1)^nraizn.

Passo 3

Para aplicar o teste de Leibniz, precisamos verificar duas coisas sobre os termos an=1/raizn: que são positivos e monoticamente decrescentes, e que anto0 quando ntoinfty.

Passo 4

Observamos que an=1/raizn>0, e como raizn cresce, an+1=1/raizn+1<1/raizn=an. Além disso, limntoinfty1/raizn=0.

Passo 5

Pelo teste de série alternante (Leibniz), como an é decrescente e tende a zero, a série sum(-1)^n an converge. Entretanto, a série dos módulos sumn=1^inftyl|(-1)^n/raiznr|=sumn=1^infty1/raizn diverge (pois é uma p-série com p=1/2<=1).

Resposta

A série converge, mas apenas condicionalmente (convergência pelo teste de Leibniz).

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