Esboçar a região de integração e calcular as integrais:
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Passo 1
O enunciado pede pra gente esboçar a região de integração de uma integral tripla em coordenadas cartesianas e depois calcular passo a passo as integrais internas em z, em x e por fim em y.
Passo 2
A projeção da região no plano xy vem de y indo de –3 a 3, e para cada y temos x entre –√(9–y²) e 3–√(2–y²). Observando que √(2–y²) só faz sentido real quando |y|≤√2, concluímos que a região em y é na prática –√2≤y≤√2. No plano xy isso descreve a interseção do disco de raio 3 centrado na origem com o interior do círculo de raio √2 centrado em (3,0), formando uma lente.
Passo 3
A integral interna em z é imediata, pois integrando 1 em z entre z=4y²–9 e z=3x²+3y² obtemos
Passo 4
Agora integramos em x de –√(9–y²) até 3–√(2–y²):
Passo 5
Chamando a=–√(9–y²) e b=3–√(2–y²), essa diferença fica
Passo 6
Finalmente restará integrar em y de –√2 até √2, pois fora desse intervalo o integrando em x não existe em ℝ. Podemos então escrever a integral tripla como uma única integral em y.
Ao organizar tudo, o resultado final da integral é dado por:
Ao organizar tudo, o resultado final da integral é dado por: