Esboçar a região de integração e calcular as integrais:
integral-3^3 integral-raiz9-y^2^3-raiz2-y^2 integral4 y^2-9^3 x^2+3 y^2 d z d x d y.

Passo 1

O enunciado pede pra gente esboçar a região de integração de uma integral tripla em coordenadas cartesianas e depois calcular passo a passo as integrais internas em z, em x e por fim em y.

Passo 2

A projeção da região no plano xy vem de y indo de –3 a 3, e para cada y temos x entre –√(9–y²) e 3–√(2–y²). Observando que √(2–y²) só faz sentido real quando |y|≤√2, concluímos que a região em y é na prática –√2≤y≤√2. No plano xy isso descreve a interseção do disco de raio 3 centrado na origem com o interior do círculo de raio √2 centrado em (3,0), formando uma lente.

Passo 3

A integral interna em z é imediata, pois integrando 1 em z entre z=4y²–9 e z=3x²+3y² obtemos
integral4y^2-9^3x^2+3y^2dz=l[,zr]4y^2-9^3x^2+3y^2=3x^2+3y^2-(4y^2-9)=3x^2-y^2+9

Passo 4

Agora integramos em x de –√(9–y²) até 3–√(2–y²):
integral-raiz9-y^2^3-raiz2-y^2(3x^2-y^2+9),dx=l[x^3-y^2x+9xr]-raiz9-y^2^3-raiz2-y^2

Passo 5

Chamando a=–√(9–y²) e b=3–√(2–y²), essa diferença fica
b^3-a^3+(9-y^2)(b-a)

Passo 6

Finalmente restará integrar em y de –√2 até √2, pois fora desse intervalo o integrando em x não existe em ℝ. Podemos então escrever a integral tripla como uma única integral em y.
Ao organizar tudo, o resultado final da integral é dado por:
integral-3^3integral-raiz9-y^2^3-raiz2-y^2integral4 y^2-9^3 x^2+3 y^2dz,dx,dy=integral-raiz2^raiz2l((3-raiz2-y^2)^3+(raiz9-y^2)^3+(9-y^2)l(3-raiz2-y^2+raiz9-y^2r)r),dy

Resposta

integral-3^3integral-raiz9-y^2^3-raiz2-y^2integral4 y^2-9^3 x^2+3 y^2dz,dx,dy=integral-raiz2^raiz2l((3-raiz2-y^2)^3+(raiz9-y^2)^3+(9-y^2)l(3-raiz2-y^2+raiz9-y^2r)r),dy

Exercícios relacionados