Esboçar a região de integração e calcular as integrais:
integral0^1 integralx^3^x integral0^2+x+y x d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral tripla:
integral0^1 integralx^3^x integral0^2+x+y x , dz , dy , dx
Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e como visualizar a região onde a integral está sendo calculada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável.
  • $ x $ varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de $ x^{3} $ a $ x $.
  • Para cada par $ (x, y) $, $ z $ varia de 0 a $ 2 + x + y $.
Isso define uma região no espaço tridimensional onde vamos calcular a integral.

Passo 3

Vamos esboçar a região de integração:
  1. Plano $ xy $: $ x $ vai de 0 a 1. Para cada $ x $, $ y $ vai de $ x^{3} $ a $ x $. Isso forma uma área entre as curvas $ y = x $ e $ y = x^{3} $ no plano $ xy $.
  2. Altura $ z $: Para cada ponto $ (x, y) $ nessa área, $ z $ vai de 0 até $ 2 + x + y $. Então, a região se estende verticalmente até a superfície $ z = 2 + x + y $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral tripla passo a passo. A integral dada é:
integral0^1 integralx^3^x integral0^2+x+y x , dz , dy , dx
Vamos integrar em relação a $ z $ primeiro.
Integral em relação a $ z $:
z
Agora, a integral fica:
z

Passo 5

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
x (2 + x + y) = 2x + x^2 + xy
Então, a integral passa a ser:
integral0^1 integralx^3^x (2x + x^2 + xy) , dy , dx
Agora, vamos integrar em relação a $ y $.
Integral em relação a $ y $:
y
Substituindo os limites de $ y $:
y
Simplificando:
integralx^3^x (2x + x^2 + xy) , dy = 2x cdot (y) + x^2 cdot (y) + x cdot ( y^22 ) gr|x^3^x
Agora, vamos somar os termos semelhantes:
y
2x(x) - 2x(x^3) + x^2(x) - x^2(x^3) + x ( x^22 - (x^3)^22 )

Passo 6

Agora, a integral reduzida fica:
integral0^1 ( 2x^2 + 3x^32 - 2x^4 - x^5 - x^72 ) dx
Vamos integrar termo a termo:
integral 2x^2 , dx = 23x^3
integral 3x^32 , dx = 38x^4
integral -2x^4 , dx = -25x^5
integral -x^5 , dx = -16x^6
integral -x^72 , dx = -116x^8
Agora, somando todas as partes:
23x^3 + 38x^4 - 25x^5 - 16x^6 - 116x^8 gr|0^1

Passo 7

Substituindo $ x = 1 $ e $ x = 0 $:
x = 1
Vamos calcular cada fração:
x = 0
( 23 + 38 - 25 - 16 - 116 ) - 0
23 = 0,6667
38 = 0,375
-25 = -0,4
Somando todos:
-16 approx -0,1667
-116 = -0,0625
0,6667 + 0,375 - 0,4 - 0,1667 - 0,0625 = 0,6667 + 0,375 = 1,0417
1,0417 - 0,4 = 0,6417
Convertendo de volta para frações:
0,6417 - 0,1667 = 0,475

Resposta

A integral tripla vale boxeddfrac3380.

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