Esboçar a região de integração e calcular as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral tripla:
Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e como visualizar a região onde a integral está sendo calculada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração para cada variável.
$ x $ varia de 0 a 1.
Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de $ x^{3} $ a $ x $.
Para cada par $ (x, y) $, $ z $ varia de 0 a $ 2 + x + y $.
Isso define uma região no espaço tridimensional onde vamos calcular a integral.
Passo 3
Vamos esboçar a região de integração:
Plano $ xy $: $ x $ vai de 0 a 1. Para cada $ x $, $ y $ vai de $ x^{3} $ a $ x $. Isso forma uma área entre as curvas $ y = x $ e $ y = x^{3} $ no plano $ xy $.
Altura $ z $: Para cada ponto $ (x, y) $ nessa área, $ z $ vai de 0 até $ 2 + x + y $. Então, a região se estende verticalmente até a superfície $ z = 2 + x + y $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral tripla passo a passo. A integral dada é: