Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha
onde C é a fronteira orientada da superfície que consiste na parte do cilindro
no primeiro octante que é delimitada pelos planos coordenados e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. A curva
é a fronteira da superfície que é parte do cilindro
no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados e pelo plano
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para transformar uma integral de linha em uma integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que a integral de linha de um campo vetorial
ao redor de uma curva fechada
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
limitada por
. Em fórmula:
Isso quer dizer que, ao invés de calcular a integral ao longo da curva, podemos calcular uma integral de superfície, o que às vezes é mais fácil dependendo da situação.
Passo 3
Agora, precisamos identificar a superfície
cuja fronteira é a curva
. No nosso caso,
é a parte do cilindro
no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados (
,
,
) e pelo plano
.
Visualizando, essa superfície é como uma fatia do cilindro onde
varia de 0 a 3, e
e
estão limitados pelo cilindro e pelos planos coordenados.
Passo 4
Vamos precisar parametrizar a superfície
para calcular a integral de superfície. Uma boa forma de parametrização é usar
e
como parâmetros, já que
está definido em termos deles pela equação do cilindro.
Então, podemos escrever:
Aqui,
varia de 0 até
(já que
) e
varia de 0 a 3.
Passo 5
Agora, vamos calcular o rotacional de
, ou seja,
. O rotacional é uma medida de quanto o campo
está girando em torno de cada ponto. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos precisar das componentes de
para calcular isso.
Passo 6
Depois de calcular
, vamos precisar do vetor normal à superfície
. Isso é feito calculando o produto vetorial das derivadas parciais da parametrização
:
Passo 7
Agora, podemos montar a integral de superfície usando o Teorema de Stokes:
Substituindo
e
na expressão, e integrando sobre os limites de
de 0 a 2 e
de 0 a 3.
Passo 8
Vamos integrar:
Calcule as derivadas necessárias, substitua na integral e resolva para encontrar o valor final da integral de linha.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, a integral de linha
é igual a [valor final específico, dependendo dos componentes de
].