Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha ointC F cdot d R onde C é a fronteira orientada da superfície que consiste na parte do cilindro z=4-x^2 no primeiro octante que é delimitada pelos planos coordenados e pelo plano y=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC F cdot d R usando o Teorema de Stokes. A curva C é a fronteira da superfície que é parte do cilindro z = 4 - x^2 no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados e pelo plano y = 3.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para transformar uma integral de linha em uma integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que a integral de linha de um campo vetorial F ao redor de uma curva fechada C é igual à integral de superfície do rotacional de F sobre uma superfície S limitada por C. Em fórmula:
ointC F cdot dR = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Isso quer dizer que, ao invés de calcular a integral ao longo da curva, podemos calcular uma integral de superfície, o que às vezes é mais fácil dependendo da situação.

Passo 3

Agora, precisamos identificar a superfície S cuja fronteira é a curva C. No nosso caso, S é a parte do cilindro z = 4 - x^2 no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados ( x=0, y=0, z=0) e pelo plano y=3.
Visualizando, essa superfície é como uma fatia do cilindro onde y varia de 0 a 3, e x e z estão limitados pelo cilindro e pelos planos coordenados.

Passo 4

Vamos precisar parametrizar a superfície S para calcular a integral de superfície. Uma boa forma de parametrização é usar x e y como parâmetros, já que z está definido em termos deles pela equação do cilindro.
Então, podemos escrever:
r(x, y) = lang<= x, y, 4 - x^2 rang<=
Aqui, x varia de 0 até raiz4 (já que z >= 0) e y varia de 0 a 3.

Passo 5

Agora, vamos calcular o rotacional de F, ou seja, nabla times F. O rotacional é uma medida de quanto o campo F está girando em torno de cada ponto. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos precisar das componentes de F para calcular isso.

Passo 6

Depois de calcular nabla times F, vamos precisar do vetor normal à superfície S. Isso é feito calculando o produto vetorial das derivadas parciais da parametrização r(x, y):
rx = partial rpartial x = lang<= 1, 0, -2x rang<=
ry = partial rpartial y = lang<= 0, 1, 0 rang<=
n = rx times ry = lang<= 2x, 0, 1 rang<=

Passo 7

Agora, podemos montar a integral de superfície usando o Teorema de Stokes:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dA
Substituindo nabla times F e n na expressão, e integrando sobre os limites de x de 0 a 2 e y de 0 a 3.

Passo 8

Vamos integrar:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dA = integral0^2 integral0^3 (nabla times F) cdot lang<= 2x, 0, 1 rang<= , dy , dx
Calcule as derivadas necessárias, substitua na integral e resolva para encontrar o valor final da integral de linha.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, a integral de linha ointC F cdot d R é igual a [valor final específico, dependendo dos componentes de F].

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