Determinar a serie de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a serie converge. f(t)=\left\{\begin{array}{ll}t & \text { se } 0 \leq t<1 \\\\ 1 & \text { se } 1 \leq t<2,\end{array} \quad\right. série de senos, período 4
Passo 1
O enunciado pede a expansão de f(t)\) em série de senos de período \(T=4\). A função está definida em \([0,2]\) por
\[f(t)= \begin{cases} t,&0\le t<1,\\\\ 1,&1\le t<2, \end{cases}
e depois se repete com período 4\]. Para obter só termos de seno, fazemos a extensão ímpar de \(f a [-2,2] e tornamos periódica de período 4. As funções de base são
A série converge, para t\notin\{k\cdot2\colon k\in\mathbb Z\}\), à extensão ímpar e periódica de \(f\) de período \(4\). Em particular, em \([0,2]\) ela retorna exatamente
\[f(t)= \begin{cases} t,&0<t<1,\\\\ 1,&1<t<2, \end{cases}
nos pontos de descontinuidade ((t=0,1,2,\dots]) converge ao valor médio dos limites laterais.