Determinar a serie de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a serie converge.
f(t)=\left\{\begin{array}{ll}t & \text { se } 0 \leq t<1 \\\\ 1 & \text { se } 1 \leq t<2,\end{array} \quad\right. série de senos, período 4

Passo 1

O enunciado pede a expansão de f(t)\) em série de senos de período \(T=4\). A função está definida em \([0,2]\) por \[f(t)= \begin{cases} t,&0\le t<1,\\\\ 1,&1\le t<2, \end{cases}
e depois se repete com período 4\]. Para obter só termos de seno, fazemos a extensão ímpar de \(f a [-2,2] e tornamos periódica de período 4. As funções de base são
\sin\!\Bigl(n\omega_0 t\Bigr),\quad \omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2},
e o coeficiente geral é
b_n=\int_{0}^{2}f(t)\,\sin\!\Bigl(n\pi t/2\Bigr)\,dt.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes, usando a definição de f:
b_n =\int_{0}^{1}t\,\sin\!\bigl(a t\bigr)\,dt +\int_{1}^{2}1\cdot\sin\!\bigl(a t\bigr)\,dt,
onde definimos para abreviar a=\tfrac{n\pi}{2}.

Passo 3

Calculamos
I_1=\int_{0}^{1}t\,\sin(a t)\,dt.
Por partes, tome u=t, dv=\sin(at)\,dt, então du=dt, v=-\tfrac{1}{a}\cos(at). Logo
I_1 =-\frac{t\cos(at)}{a}\Big|_{0}^{1} +\frac{1}{a}\int_{0}^{1}\cos(at)\,dt =-\frac{\cos(a)}{a} +\frac{1}{a}\,\frac{\sin(a)}{a} =-\frac{\cos(a)}{a}+\frac{\sin(a)}{a^2}.

Passo 4

Agora
I_2=\int_{1}^{2}\sin(a t)\,dt =\Bigl[-\tfrac{\cos(at)}{a}\Bigr]_{1}^{2} =-\frac{\cos(2a)-\cos(a)}{a} =\frac{\cos(a)-\cos(2a)}{a}.

Passo 5

Somando b_n=I_1+I_2 temos
b_n =-\frac{\cos(a)}{a}+\frac{\sin(a)}{a^2} +\frac{\cos(a)-\cos(2a)}{a} =\frac{\sin(a)}{a^2}-\frac{\cos(2a)}{a}.
Substituindo a=\tfrac{n\pi}{2} e usando \cos(2a)=\cos(n\pi)=(-1)^n e \sin(a)=\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr), obtemos
b_n =\frac{4\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n^2\pi^2} -\frac{2\,(-1)^n}{n\pi}.

Passo 6

Portanto a série de Fourier de f em senos é
f(t)\sim \sum_{n=1}^{\infty} \Bigl[ \frac{4\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n^2\pi^2} -\frac{2\,(-1)^n}{n\pi} \Bigr]\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\Bigr).

Passo 7

A série converge, para t\notin\{k\cdot2\colon k\in\mathbb Z\}\), à extensão ímpar e periódica de \(f\) de período \(4\). Em particular, em \([0,2]\) ela retorna exatamente \[f(t)= \begin{cases} t,&0<t<1,\\\\ 1,&1<t<2, \end{cases}
nos pontos de descontinuidade ((t=0,1,2,\dots]) converge ao valor médio dos limites laterais.

Resposta

f(t)= \sum_{n=1}^{\infty} \Bigl[ \frac{4\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n^2\pi^2} -\frac{2\,(-1)^n}{n\pi} \Bigr]\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\Bigr),
a série converge à extensão ímpar periódica de f de período 4.

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