Determinara o período e fazer a serie de Fourier das seguintes funções
f(t)=\left\{\begin{array}{cc}0, & -\pi \leq t<0 \\\ t^{2}, & 0 \leq t<\pi,\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
f(t)= \begin{cases} 0, & -\pi \le t<0,\\\ t^2, & 0 \le t<\pi, \end{cases}
com extensão periódica de período T. Vamos ver que T=2\pi e usar as fórmulas
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt,\quad a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt,\quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt,
para escrever
f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\bigr).

Passo 2

Calcular a_0. Como f(t)=0 em [-\pi,0) e f(t)=t^2 em [0,\pi),
\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt = \int_{0}^{\pi}t^2\,dt = \left[\frac{t^3}{3}\right]_0^\pi = \frac{\pi^3}{3}.
Logo
a_0 = \frac{1}{\pi}\,\frac{\pi^3}{3} = \frac{\pi^2}{3}, \qquad \frac{a_0}{2} = \frac{\pi^2}{6}.

Passo 3

Calcular a_n:
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}t^2\cos(nt)\,dt.
Fazendo duas integrações por partes (primeiro u=t^2, depois u=t) obtém-se
\int_{0}^{\pi}t^2\cos(nt)\,dt = \frac{2\pi(-1)^n}{n^2},
portanto
a_n = \frac{1}{\pi}\,\frac{2\pi(-1)^n}{n^2} = \frac{2(-1)^n}{n^2}.

Passo 4

Calcular b_n:
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}t^2\sin(nt)\,dt.
Após duas integrações por partes chega-se a
\int_{0}^{\pi}t^2\sin(nt)\,dt = -\frac{\pi^2(-1)^n}{n}+\frac{2(-1)^n}{n^3}-\frac{2}{n^3}.
Logo
b_n = -\frac{\pi(-1)^n}{n} + \frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^3\,\pi}.

Passo 5

Juntando tudo, a extensão periódica de f(t) com T=2\pi tem série de Fourier
f(t) = \frac{\pi^2}{6} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{2(-1)^n}{n^2}\,\cos(nt) +\Bigl(-\frac{\pi(-1)^n}{n}+\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^3\pi}\Bigr)\sin(nt) \right].

Resposta

Período T=2\pi e série de Fourier conforme escrita acima.

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