Determinara o período e fazer a serie de Fourier das seguintes funções
f(t)=\left\{\begin{array}{ll}t+1 & \text { se }-1 \leq t<0 \\\\ 1-t & \text { se } 0 \leq t<1,\end{array} \quad f(t+2)=f(t) \quad \forall \in \mathbb{R}\right.

Passo 1

O enunciado define
f(t)= \begin{cases} t+1, & -1\le t<0,\\\\ 1-t, & 0\le t<1, \end{cases} \quad f(t+2)=f(t)\;\forall t\in\mathbb{R},
ou seja, f é periódico de período ainda a determinar e queremos sua série de Fourier. O conteúdo utilizado será a fórmula da série de Fourier de uma função de período 2L, aqui com L=1.

Passo 2

Para achar o período T basta ver a condição f(t+2)=f(t). Logo
T=2.

Passo 3

Recordando: para uma função de período 2L definimos
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos\bigl(n\pi t/L\bigr)+b_n\sin\bigl(n\pi t/L\bigr)\bigr),
com
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\,dt,\quad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\cos\bigl(n\pi t/L\bigr)\,dt,\quad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\bigl(n\pi t/L\bigr)\,dt.
Aqui L=1, de modo que \pi t/L=\pi t.

Passo 4

Calculando
a_0=\int_{-1}^{1}f(t)\,dt =\int_{-1}^{0}(t+1)\,dt+\int_{0}^{1}(1-t)\,dt =\frac12+\frac12=1.
Portanto o termo constante na série é \tfrac{a_0}{2}=\tfrac12.

Passo 5

Observamos que f(-t)=f(t), pois para t\in[0,1] vale f(-t)=(-t+1)=1-t=f(t). Logo f é função par e todos os coeficientes seno b_n são zero:
b_n=0\quad\forall n.

Passo 6

Para a_n usamos simetria par e escrevemos
a_n= \int_{-1}^{1}f(t)\cos(n\pi t)\,dt =2\int_{0}^{1}(1-t)\cos(n\pi t)\,dt.
Fazendo integração por partes em \int_{0}^{1}(1-t)\cos(n\pi t)\,dt obtém-se
a_n =\frac{2}{n\pi}\int_{0}^{1}\sin(n\pi t)\,dt =-\frac{2}{n^2\pi^2}\bigl[\cos(n\pi t)\bigr]_{0}^{1} =\frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n^2\pi^2}.
Logo a_n=0 se n é par e a_n=\tfrac{4}{n^2\pi^2} se n é ímpar.

Passo 7

Reescrevendo apenas os termos não nulos (índices n=2k+1), a série de Fourier fica
f(t) =\frac12 +\sum_{k=0}^{\infty} \frac{4}{(2k+1)^2\pi^2}\cos\bigl((2k+1)\pi t\bigr).

Resposta

Período: T=2.
Série de Fourier:
f(t) =\frac12 +\sum_{k=0}^{\infty} \frac{4}{(2k+1)^2\pi^2}\cos\bigl((2k+1)\pi t\bigr).

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