Determinar o subespaço de P3 (espaço dos polinômios de grau <= 3 ) gerado pelos vetores p1=x^3+2 x^2-x+3 e p2=-2 x^3-x+3 x+2.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de P3 gerado pelos polinômios
p1(x)=x^3+2x^2-x+3 e p2(x)=-2x^3+2x+2
O conteúdo é “espaços vetoriais” e “subespaço gerado” (span). Vamos mostrar que esses dois vetores são independentes, achar uma descrição paramétrica do span e, em seguida, uma descrição por condições lineares sobre os coeficientes.

Passo 2

Escrevemos os polinômios em coordenadas na base
Para verificar independência, considere
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem . Logo, e são independentes e .

Passo 3

Assim, o subespaço procurado é
lang<= p1,p2rang<= =lA,p1(x)+B,p2(x);|;A,BinRr =lA(x^3+2x^2-x+3)+B(-2x^3+2x+2)r
Em forma explícita,
r(x)=Ax^3+2Ax^2-Ax+3A-2Bx^3+2Bx+2B
Agrupando termos,
r(x)=(A-2B)x^3+(2A)x^2+(-A+2B)x+(3A+2B)

Passo 4

Sejam (c3,c2,c1,c0) os coeficientes de r(x)=c3x^3+c2x^2+c1x+c0. Dos coeficientes acima temos
c3=A-2B, c2=2A, c1=-A+2B, c0=3A+2B
Daí A=tfracc22 e B=tfracc24-tfracc32. Substituindo em c1 e c0 obtém–se as condições
c1=-,c3, c0=2,c2-c3
Portanto,
lang<= p1,p2rang<= =l,c3x^3+c2x^2+c1x+c0;|;c1=-c3,;c0=2c2-c3r

Resposta

O subespaço gerado é
boxedlang<= p1,p2rang<= =lA(x^3+2x^2-x+3)+B(-2x^3+2x+2)mid A,BinRr
ou, equivalentemente,
boxedlc3x^3+c2x^2+c1x+c0mid c1=-c3,;c0=2c2-c3r

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