Determinar a solução geral das Equações Diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: determinar a solução geral dessa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é a função
que depende de . - Aparecem os diferenciais
e juntos; podemos reescrever a equação em termos de . - Não há condições iniciais: queremos a solução geral (com constante arbitrária).
Passo 2
Reescrever a equação isolando
. Divido ambos os lados por
(isto é, interpreto
):
É mais conveniente pôr na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui:
-
é a derivada de em relação a . - O termo
é o coeficiente de (função multiplicativa dependente de , neste caso constante ). - O lado direito
é a função conhecida .
Passo 3
Apresento a técnica que vamos usar: método do fator integrante para equações lineares da forma
No nosso caso temos
e
. O fator integrante
é dado por
Explico por que isso funciona, de forma simples: se multiplicarmos toda a equação por
,
e se
satisfaz
, então o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Assim obtemos
e daí integramos.
Passo 4
Calculo o fator integrante para
:
Verifico a propriedade:
, ou seja, funciona.
Passo 5
Multiplico a equação padrão por
. Começo da forma padrão:
Multiplicando por
:
Pelo motivo explicado antes, o lado esquerdo é a derivada de
. Logo:
Passo 6
Agora integro ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é uma integral direta de polinômio:
onde
é a constante de integração. Assim:
Passo 7
Isolo
multiplicando por
:
Posso separar o termo constante:
Aqui
é uma constante arbitrária real, então
representa a parte geral da solução homogênea.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): calculo
a partir de
. Usando a regra do produto,
o que coincide com a forma rearranjada da equação original, logo a solução está correta.