Determinar a solução geral das Equações Diferenciais:
y d x+3 x^{2} e^{x} d x=d y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y\,dx + 3x^{2}e^{x}\,dx = dy
e pede: determinar a solução geral dessa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y que depende de x.
  • Aparecem os diferenciais dx e dy juntos; podemos reescrever a equação em termos de \dfrac{dy}{dx}.
  • Não há condições iniciais: queremos a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Reescrever a equação isolando \dfrac{dy}{dx}. Divido ambos os lados por dx (isto é, interpreto dy/dx):
\frac{dy}{dx} = y + 3x^{2}e^{x}.
É mais conveniente pôr na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{dy}{dx} - y = 3x^{2}e^{x}.
Aqui:
  • \dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x.
  • O termo -y é o coeficiente de y (função multiplicativa dependente de x, neste caso constante -1).
  • O lado direito 3x^{2}e^{x} é a função conhecida Q(x).

Passo 3

Apresento a técnica que vamos usar: método do fator integrante para equações lineares da forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).
No nosso caso temos P(x) = -1 e Q(x)=3x^{2}e^{x}. O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Explico por que isso funciona, de forma simples: se multiplicarmos toda a equação por \mu(x),
\mu(x)\frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x),
e se \mu satisfaz \mu' = \mu P, então o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big). Assim obtemos
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)Q(x),
e daí integramos.

Passo 4

Calculo o fator integrante para P(x)=-1:
\mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Verifico a propriedade: \mu'(x) = -e^{-x} = \mu(x)P(x), ou seja, funciona.

Passo 5

Multiplico a equação padrão por \mu(x)=e^{-x}. Começo da forma padrão:
\frac{dy}{dx} - y = 3x^{2}e^{x}.
Multiplicando por e^{-x}:
e^{-x}\frac{dy}{dx} - e^{-x}y = 3x^{2}.
Pelo motivo explicado antes, o lado esquerdo é a derivada de e^{-x}y. Logo:
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=3x^{2}.

Passo 6

Agora integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)\,dx = \int 3x^{2}\,dx.
A integral do lado esquerdo é e^{-x}y. A integral do lado direito é uma integral direta de polinômio:
\int 3x^{2}\,dx = x^{3} + C,
onde C é a constante de integração. Assim:
e^{-x}y = x^{3} + C.

Passo 7

Isolo y multiplicando por e^{x}:
y = e^{x}\big(x^{3} + C\big).
Posso separar o termo constante:
y = x^{3}e^{x} + C e^{x}.
Aqui C é uma constante arbitrária real, então C e^{x} representa a parte geral da solução homogênea.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): calculo \dfrac{dy}{dx} a partir de y=e^{x}(x^{3}+C). Usando a regra do produto,
\frac{dy}{dx}=e^{x}(x^{3}+C)+e^{x}\cdot 3x^{2} = y + 3x^{2}e^{x},
o que coincide com a forma rearranjada da equação original, logo a solução está correta.

Resposta

y=e^{x}\big(x^{3}+C\big), com C constante arbitrária.

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