Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=cl1-x^2 & se -1á

Passo 1

O enunciado define a função f(x) que vale 1 - x^2 em -1 < x < 1 e zero fora desse intervalo. O conteúdo aqui é a transformada de Fourier (representação integral) e sua inversão para recuperar f(x). Vamos precisar usar a definição de transformada e integração por partes.

Passo 2

Como f(x) é uma função par, sua transformada de Fourier F(omega) será real e par. Começamos pela definição
F(omega)=integral-infty^+inftyf(x)e^-iomega x,dx=integral-1^1(1 - x^2)e^-iomega x,dx
A representação integral inversa é
f(x)=12piintegral-infty^+inftyF(omega)e^iomega x,domega

Passo 3

Para explorar a paridade de f, escrevemos
F(omega)=2integral0^1(1 - x^2)cos(omega x),dx
já que a parte ímpar em sin(omega x) se anula.

Passo 4

Precisamos calcular
I1=integral0^1cos(omega x),dx e I2=integral0^1x^2cos(omega x),dx
Pela integração direta,
I1=sinomegaomega
Para I2, aplicando duas vezes integração por partes, obtemos
I2=sinomegaomega+2cosomegaomega^2-2sinomegaomega^3

Passo 5

Substituindo em F(omega)=2(I1 - I2)
F(omega)=2l(sinomegaomega-l[sinomegaomega+2cosomegaomega^2-2sinomegaomega^3r]r) =4sinomega - omegacosomegaomega^3

Passo 6

Finalmente, a representação integral de Fourier fica
f(x)=12piintegral-infty^+infty4sinomega - omegacosomegaomega^3,e^iomega x,domega

Resposta

f(x)=dfrac12piintegral-infty^+infty4sinomega - omegacosomegaomega^3e^iomega x,domega

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