Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos,
).
Passo 1
O enunciado define a função
que vale
em
e zero fora desse intervalo. O conteúdo aqui é a transformada de Fourier (representação integral) e sua inversão para recuperar
. Vamos precisar usar a definição de transformada e integração por partes.
Passo 2
Como
é uma função par, sua transformada de Fourier
será real e par. Começamos pela definição
A representação integral inversa é
Passo 3
Para explorar a paridade de
, escrevemos
já que a parte ímpar em
se anula.
Passo 4
Precisamos calcular
Pela integração direta,
Para
, aplicando duas vezes integração por partes, obtemos
Passo 5
Substituindo em
dá
Passo 6
Finalmente, a representação integral de Fourier fica