• Questão 4. Seja o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(x+x^{2}\right) \vec{i}+\left(y+y^{2}\right) \vec{j}+(z+z x) \vec{k}.
Seja S a porção inferior (meridional) da superfície esférica de centro C(0,0,2) e raio 2 ; seja o disco D=\left\{(x, y, 2): x^{2}+y^{2} \leq 2^{2}\right\}, orientado no sentido z positivo (como superfície). A união de S com D limita um sólido (volume) que denotaremos por G.
  • (a) (1.0pt) Obtenha \iint_{D} \vec{F} \cdot \vec{n} d S. Se for usar (\rho, \theta) na integração, observe que nesse disco D temos d S=d A=\rho d \rho d \theta.
  • (b) (1.0pt) Obtenha \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S depois de aplicar o Teorema do Divergente em G.

Passo 1

O enunciado dá o campo
\vec{F}(x,y,z) = (x + x^2)\,\vec{i} + (y + y^2)\,\vec{j} + (z + zx)\,\vec{k},
e define duas superfícies que, unidas, fecham o volume G:
  • D: disco no plano z=2 com x^2+y^2\le4, orientado por \vec{n}=(0,0,1);
  • S: hemisfera inferior da esfera de centro (0,0,2) e raio 2, com a normal apontando para fora de G.
    Parte (a) pede o fluxo de \vec{F} através de D. Parte (b) pede o fluxo através de S, usando o Teorema do Divergente:
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS \;+\;\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS \;=\;\iiint_{G}\nabla\cdot\vec F\,dV.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS.
Em D temos z=2, \vec n=(0,0,1), logo
\vec F|_{D} = \bigl(x+x^2,\;y+y^2,\;2+2x\bigr), \quad \vec F\cdot\vec n = 2 + 2x.
Em coordenadas polares no plano z=2:
x=\rho\cos\theta,\quad y=\rho\sin\theta,\quad 0\le\rho\le2,\;0\le\theta\le2\pi, \quad dS=dA=\rho\,d\rho\,d\theta.
Assim
\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\bigl(2 + 2\rho\cos\theta\bigr)\,\rho\,d\rho\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\bigl(2\rho + 2\rho^2\cos\theta\bigr)\,d\rho\,d\theta.
Separe em duas integrais:
I_1 = 2\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\rho\,d\rho\,d\theta =2\bigl[\tfrac{\rho^2}{2}\bigr]_{0}^{2}\cdot2\pi =2\cdot2\cdot2\pi=8\pi,
I_2 = 2\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\rho^2\cos\theta\,d\rho\,d\theta =2\Bigl[\tfrac{\rho^3}{3}\Bigr]_0^2\cdot\underbrace{\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta}_{0} =0.
Logo
\boxed{\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS = 8\pi.}

Passo 3

Cálculo de \displaystyle\iiint_{G}\nabla\cdot\vec F\,dV.
Primeiro o divergente:
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(x+x^2) +\frac{\partial}{\partial y}(y+y^2) +\frac{\partial}{\partial z}(z+zx) =(1+2x)+(1+2y)+(1+x) =3 + 3x + 2y.
Portanto
\iiint_{G}(3+3x+2y)\,dV =3\iiint_{G}1\,dV +3\iiint_{G}x\,dV +2\iiint_{G}y\,dV.
O volume de G é o da meia-esfera de raio 2:
\Vol(G)=\tfrac12\cdot \tfrac{4}{3}\pi(2)^3 = \tfrac{16}{3}\pi \quad\Longrightarrow\quad 3\iiint_{G}1\,dV = 3\cdot \tfrac{16}{3}\pi = 16\pi.
Como G é simétrico em x e em y em torno da origem,
\iiint_{G}x\,dV = \iiint_{G}y\,dV = 0.
Logo
\boxed{\iiint_{G}\nabla\cdot\vec F\,dV = 16\pi.}

Passo 4

Aplicando o Teorema do Divergente a G:
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS \;+\;\iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{G}\nabla\cdot\vec F\,dV \;\Longrightarrow\; \iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS =16\pi - 8\pi = 8\pi.

Resposta

(a) \displaystyle 8\pi
(b) \displaystyle 8\pi

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