Questão 4. Seja o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(x+x^{2}\right) \vec{i}+\left(y+y^{2}\right) \vec{j}+(z+z x) \vec{k}.
Seja S a porção inferior (meridional) da superfície esférica de centro C(0,0,2) e raio 2 ; seja o disco D=\left\{(x, y, 2): x^{2}+y^{2} \leq 2^{2}\right\}, orientado no sentido z positivo (como superfície). A união de S com D limita um sólido (volume) que denotaremos por G.
(a) (1.0pt) Obtenha \iint_{D} \vec{F} \cdot \vec{n} d S. Se for usar (\rho, \theta) na integração, observe que nesse disco D temos d S=d A=\rho d \rho d \theta.
(b) (1.0pt) Obtenha \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S depois de aplicar o Teorema do Divergente em G.
e define duas superfícies que, unidas, fecham o volume G:
D: disco no plano z=2 com x^2+y^2\le4, orientado por \vec{n}=(0,0,1);
S: hemisfera inferior da esfera de centro (0,0,2) e raio 2, com a normal apontando para fora de G.
Parte (a) pede o fluxo de \vec{F} através de D. Parte (b) pede o fluxo através de S, usando o Teorema do Divergente: