Determinar a solução do PVI:
.
sem usar a Transformada de Laplace.
sem usar a Transformada de Laplace.
Passo 1
Bom, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. O exercício pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) para uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais lineares, solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, a parte sem o termo não homogêneo:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, temos:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que determinaremos mais tarde.
Passo 3
Agora precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é
, vamos supor uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Simplificando:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 6
Para que a igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais aos do lado direito:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: .
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
.
Passo 7
Agora que encontramos
e
, podemos escrever a solução particular:
Podemos fatorar
:
Passo 8
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 9
Agora aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Ou seja:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos :
Primeiro, encontramos
Simplificando:
Agora, aplicando
:
Então,
.
Passo 10
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução do PVI é: