Determinar a solução do PVI: y^prime prime-y^prime=e^t cos t, y(0)=0, y^prime(0)=0.
sem usar a Transformada de Laplace.

Passo 1

Bom, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. O exercício pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) para uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - y' = e^t cos t
com as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0 . Vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais lineares, solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, a parte sem o termo não homogêneo:
y'' - y' = 0
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma y = e^rt . Substituindo na equação homogênea:
r^2 e^rt - r e^rt = 0 implies e^rt(r^2 - r) = 0
Como e^rt nunca é zero, temos:
r^2 - r = 0 implies r(r - 1) = 0 implies r = 0 ou r = 1
Então, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^0 cdot t + C2 e^1 cdot t = C1 + C2 e^t
onde C1 e C2 são constantes que determinaremos mais tarde.

Passo 3

Agora precisamos encontrar uma solução particular ( yp ) para a equação completa:
y'' - y' = e^t cos t
Como o lado direito é e^t cos t , vamos supor uma solução particular da forma:
yp(t) = e^t (A cos t + B sin t)
onde A e B são constantes a serem encontradas.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp(t) :
yp'(t) = e^t (A cos t + B sin t) + e^t (-A sin t + B cos t) = e^t [ (A + B) cos t + (B - A) sin t ]
yp''(t) = e^t [ (A + B) cos t + (B - A) sin t ] + e^t [ (-A - B) sin t + (B - A) cos t ]
Simplificando:
yp''(t) = e^t [ 2(B - A) cos t + (-2A) sin t ]

Passo 5

Substituímos yp , yp' e yp'' na equação original:
yp'' - yp' = e^t cos t
e^t [ 2(B - A) cos t + (-2A) sin t ] - e^t [ (A + B) cos t + (B - A) sin t ] = e^t cos t
Simplificando os termos:
e^t [ (2(B - A) - (A + B)) cos t + (-2A - (B - A)) sin t ] = e^t cos t
e^t [ (2B - 2A - A - B) cos t + (-2A - B + A) sin t ] = e^t cos t
e^t [ (B - 3A) cos t + (-A - B) sin t ] = e^t cos t

Passo 6

Para que a igualdade seja válida para todo t , os coeficientes de cos t e sin t devem ser iguais aos do lado direito:
B - 3A = 1 (coeficiente de cos t)
- A - B = 0 (coeficiente de sin t)
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: B = -A .
Substituindo na primeira equação:
- A - 3A = 1 implies -4A = 1 implies A = -14
Então, B = -A = 14 .

Passo 7

Agora que encontramos A e B , podemos escrever a solução particular:
yp(t) = e^t ( -14 cos t + 14 sin t )
Podemos fatorar -14:
yp(t) = -14 e^t ( cos t - sin t )

Passo 8

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 + C2 e^t - 14 e^t ( cos t - sin t )

Passo 9

Agora aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2 .
Primeira condição: y(0) = 0
0 = C1 + C2 e^0 - 14 e^0 ( cos 0 - sin 0 ) = C1 + C2 - 14 (1 - 0 ) = C1 + C2 - 14
Ou seja:
C1 + C2 = 14 (Equação 1) çã
Segunda condição: y'(0) = 0
Primeiro, encontramos y'(t) :
y'(t) = C2 e^t - 14 e^t ( cos t - sin t ) + 14 e^t ( sin t + cos t )
Simplificando:
y'(t) = C2 e^t - 14 e^t ( cos t - sin t - sin t - cos t ) = C2 e^t - 14 e^t (-2 sin t )
y'(t) = C2 e^t + 12 e^t sin t
Agora, aplicando t = 0 :
0 = C2 e^0 + 12 e^0 sin 0 = C2 + 0 = C2
Então, C2 = 0 .

Passo 10

Substituindo C2 = 0 na Equação 1:
C1 + 0 = 14 implies C1 = 14

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = 14 - 14 e^t ( cos t - sin t )

Exercícios relacionados