Resolver as equações diferenciais de segunda ordem a seguir.
x^2 y^prime prime+5 x y^prime+3 y=4 ln x, x>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que você me enviou:
x^2 y'' + 5x y' + 3 y = 4 ln x, x > 0
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea com coeficientes que variam em função de x . Para resolver, vamos precisar entender sobre equações de Cauchy-Euler e encontrar tanto a solução geral da equação homogênea quanto uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte homogênea da equação, que é:
x^2 y'' + 5x y' + 3 y = 0
As equações de Cauchy-Euler têm uma forma específica e a gente pode resolver assumindo uma solução do tipo y = x^r , onde r é um número que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo y = x^r na equação homogênea, vamos calcular as derivadas:
  • Primeira derivada: y' = r x^r-1
  • Segunda derivada: y'' = r (r - 1) x^r-2
Agora, substituímos essas na equação:
x^2 cdot r (r - 1) x^r-2 + 5x cdot r x^r-1 + 3 x^r = 0
Simplificando os termos:
r (r - 1) x^r + 5r x^r + 3 x^r = 0
Fatorando x^r :
x^r [r(r - 1) + 5r + 3] = 0
Como x^r nunca é zero para x > 0 , temos que:
r(r - 1) + 5r + 3 = 0
Isso simplifica para a equação característica:
r^2 - r + 5r + 3 = r^2 + 4r + 3 = 0

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática r^2 + 4r + 3 = 0 para encontrar os valores de r .
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = 4 , e c = 3 :
r = -4 pm raiz16 - 122 = -4 pm raiz42 = -4 pm 22
Então, as soluções são:
r1 = -4 + 22 = -1
r2 = -4 - 22 = -3

Passo 5

Com os valores de r , a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 x^-1 + C2 x^-3
Onde C1 e C2 são constantes que determinamos pelas condições iniciais (que aqui não foram fornecidas).

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa:
x^2 y'' + 5x y' + 3 y = 4 ln x
Como o lado direito é 4 ln x , vamos tentar uma solução particular do tipo:
yp = A ln x + B
Onde A e B são constantes que vamos determinar.

Passo 7

Calculando as derivadas de yp :
  • Primeira derivada: yp' = Ax
  • Segunda derivada: yp'' = -Ax^2
Substituindo yp , yp' e yp'' na equação original:
x^2 (-Ax^2) + 5x (Ax) + 3 (A ln x + B) = 4 ln x
Simplificando:
-A + 5A + 3A ln x + 3B = 4 ln x
Agrupando termos semelhantes:
4A + 3A ln x + 3B = 4 ln x

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para os termos com ln x :
3A = 4 Rightarrow A = 43
Para os termos constantes:
4A + 3B = 0
Substituindo A = 43 :
4 (43) + 3B = 0 Rightarrow 163 + 3B = 0
Resolvendo para B :
3B = -163 Rightarrow B = -169

Passo 9

Com os valores de A e B , a solução particular é:
yp = 43 ln x - 169

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp = C1 x^-1 + C2 x^-3 + 43 ln x - 169

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 x^-1 + C2 x^-3 + 43 ln x - 169
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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