Resolver as equações diferenciais de segunda ordem a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que você me enviou:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea com coeficientes que variam em função de
. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações de Cauchy-Euler e encontrar tanto a solução geral da equação homogênea quanto uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte homogênea da equação, que é:
As equações de Cauchy-Euler têm uma forma específica e a gente pode resolver assumindo uma solução do tipo
, onde
é um número que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, vamos calcular as derivadas:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Agora, substituímos essas na equação:
Simplificando os termos:
Fatorando
:
Como
nunca é zero para
, temos que:
Isso simplifica para a equação característica:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática
para encontrar os valores de
.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
:
Então, as soluções são:
Passo 5
Com os valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinamos pelas condições iniciais (que aqui não foram fornecidas).
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução particular do tipo:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Passo 9
Com os valores de
e
, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.