Determinar as soluções das equações dadas a seguir, usando uma substituição adequada:
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^{\prime}+\boldsymbol{y}+\boldsymbol{2} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x\,y' + y + 2x = 0,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A ideia é usar a substituição
y = u\,x
para reduzir a ordem.

Passo 2

Da substituição y = u\,x temos
y' = u + x\,u'.
Substituindo em x\,y' + y + 2x = 0 obtemos
x\bigl(u + x\,u'\bigr) + u\,x + 2x = 0 \;\Longrightarrow\; x^2\,u' + 2x\,u + 2x = 0.

Passo 3

Como x\neq0, dividimos tudo por x e escrevemos em forma padrão:
x\,u' + 2u + 2 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad u' + \frac{2}{x}\,u = -\frac{2}{x}.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = x^2.
Multiplicando a equação por x^2 vem
\bigl(x^2\,u\bigr)' = -2x.

Passo 5

Integramos em relação a x:
x^2\,u = \int -2x\,dx = -x^2 + C,
de onde
u = -1 + \frac{C}{x^2}.

Passo 6

Voltando à variável original y = u\,x, obtemos
y(x) = x\Bigl(-1 + \frac{C}{x^2}\Bigr) = -x + \frac{C}{x}.

Resposta

y(x) = -x + \frac{C}{x}.

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