Duas cargas puntiformes iguais, ambas com q= +2,0 \mu \mathrm{C}, estāo localizadas sobre o eixo x. Uma está em x=1,0 \mathrm{~m} e a outra em x=-1,0 \mathrm{~m}. (a) Determine o campo elétrico (módulo, direçāo e sentido) sobre o eixo y, em y=0,5 \mathrm{~m}. (b) Calcule a força elétrica sobre uma terceira carga, de -3,0 \mu \mathrm{C}, colocada neste ponto.

Passo 1

O enunciado nos dá duas cargas puntiformes idênticas, cada uma com \,q=+2{,}0\;\mu\mathrm C, posicionadas em x=+1{,}0\;\mathrm m e x=-1{,}0\;\mathrm m. Pede-se (a) o campo elétrico no ponto (0,\,0{,}5) sobre o eixo y e (b) a força sobre uma carga de -3{,}0\;\mu\mathrm C colocada nesse ponto. O conteúdo envolvido é a Lei de Coulomb para o campo de cargas pontuais e a superposição de campos vetoriais, além de \mathbf F = q_{\rm teste}\,\mathbf E.

Passo 2

Calcular a distância do ponto até cada carga e o campo gerado por uma única carga. A distância é
r = \sqrt{(1{,}0-0)^2 + (0-0{,}5)^2} = \sqrt{1 + 0{,}25} = \sqrt{1{,}25} = 1{,}118\;\mathrm m.
Pela Lei de Coulomb, a magnitude do campo de uma carga q a essa distância é
E_1 = k\,\frac{q}{r^2} = 9{,}0\times10^9\,\frac{2{,}0\times10^{-6}}{(1{,}118)^2} = 1{,}44\times10^4\;\mathrm{N/C}.

Passo 3

Determinar as componentes do campo de uma carga no ponto (0,0{,}5). Do ponto (1,0) até (0,0{,}5) o vetor posição é \langle -1,\,0{,}5\rangle, cujo versor é
\hat r = \frac{1}{r}\,\langle -1,\,0{,}5\rangle = \bigl\langle -\tfrac{1}{1{,}118},\,\tfrac{0{,}5}{1{,}118}\bigr\rangle \approx \langle -0{,}895,\,0{,}447\rangle.
Assim, as componentes do campo de uma carga são
E_{1x} = E_1\cdot(-0{,}895)\approx -1{,}29\times10^4\;\mathrm{N/C}, \quad E_{1y} = E_1\cdot 0{,}447\approx 6{,}44\times10^3\;\mathrm{N/C}.

Passo 4

Pela simetria, a outra carga em x=-1 gera E_{2x}=+1{,}29\times10^4\;\mathrm{N/C} e E_{2y}=6{,}44\times10^3\;\mathrm{N/C}. Somando as componentes:
E_x = E_{1x}+E_{2x} = 0, \quad E_y = E_{1y}+E_{2y} = 2\times6{,}44\times10^3 = 1{,}288\times10^4\;\mathrm{N/C}.
Logo, \mathbf E é puramente no sentido positivo de y.

Passo 5

O módulo do campo é
E = 1{,}29\times10^4\;\mathrm{N/C},
apontando para cima, ao longo do eixo y.

Passo 6

Para a parte (b), usamos \mathbf F = q_{\rm teste}\,\mathbf E. A carga de prova é q_{\rm t}=-3{,}0\times10^{-6}\;\mathrm C, então
F_y = q_{\rm t}\,E_y = -3{,}0\times10^{-6}\times1{,}288\times10^4 = -3{,}864\times10^{-2}\;\mathrm N.
As demais componentes são zero, e o sinal negativo indica sentido para baixo.

Resposta

(a) \mathbf E = (0,\,1{,}29\times10^4)\;\mathrm{N/C} (sentido positivo de y).
(b) \mathbf F = (0,\,-3{,}86\times10^{-2})\;\mathrm N (sentido negativo de y).

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