Determine um fator integrante e resolva as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
procurando primeiro um fator integrante. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes do tipo
.
Passo 2
Verificamos se a equação já é exata. Definindo
temos
Como
, não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante da forma
. A condição de exatidão após multiplicar por
leva a
Logo
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, obtemos
que agora é exata. Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
,
Derivando em
e igualando a
nos dá
, ou seja
constante.
Passo 5
A solução geral implícita vem de
onde
é constante de integração.