Determine um fator integrante e resolva as equações diferenciais dadas.
\left(2 \boldsymbol{y}^{2}+3 \boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{d} \boldsymbol{x}+\mathbf{2} \boldsymbol{x} \boldsymbol{y} \boldsymbol{d} \boldsymbol{y}=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(2y^{2}+3x\bigr)\,dx + 2xy\,dy = 0
procurando primeiro um fator integrante. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes do tipo \mu(x,y)=x^{a}y^{b}.

Passo 2

Verificamos se a equação já é exata. Definindo
M(x,y)=2y^{2}+3x, \quad N(x,y)=2xy,
temos
\frac{\partial M}{\partial y}=4y, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=2y.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante da forma \mu(x,y)=x^{a}y^{b}. A condição de exatidão após multiplicar por \mu leva a
b=0 \quad\text{e}\quad a=1.
Logo
\mu(x,y)=x.

Passo 4

Multiplicando a equação original por x, obtemos
\bigl(2xy^{2}+3x^{2}\bigr)\,dx + 2x^{2}y\,dy = 0,
que agora é exata. Buscamos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\Phi_{x}=2xy^{2}+3x^{2}, \quad \Phi_{y}=2x^{2}y.
Integrando \Phi_{x} em relação a x,
\Phi(x,y)=\int(2xy^{2}+3x^{2})\,dx = x^{2}y^{2} + x^{3} + h(y).
Derivando em y e igualando a \Phi_{y} nos dá h'(y)=0, ou seja h constante.

Passo 5

A solução geral implícita vem de
\Phi(x,y)=x^{2}y^{2}+x^{3}=C,
onde C é constante de integração.

Resposta

\displaystyle x^2y^2 + x^3 = C, com fator integrante \mu(x,y)=x.

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