Determinar as soluções para as equações diferenciais dos Problemas 11-15.
x y^{\prime}+2 y=3 x ; y(1)=5

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x\,y'(x)+2\,y(x)=3\,x,
com condição inicial y(1)=5. O conteúdo é resolução de equação linear pelo método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão dividindo por x (supondo x\neq0):
y'(x)+\frac{2}{x}\,y(x)=3.
Aqui P(x)=\tfrac{2}{x} e Q(x)=3.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) =\exp\bigl(2\ln|x|\bigr) =x^2.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x^2:
x^2y'(x)+2x\,y(x)=3x^2.
O lado esquerdo é exatamente \bigl(x^2y(x)\bigr)', logo
\bigl(x^2y(x)\bigr)'=3x^2.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2y(x)=\int 3x^2\,dx = x^3 + C,
onde C é constante de integração. Assim
y(x)=\frac{x^3+C}{x^2}=x + C\,x^{-2}.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=5:
5 = 1 + C\cdot1^{-2} \quad\Longrightarrow\quad C=4.
Portanto a solução particular é
y(x)=x+4\,x^{-2}.

Resposta

y(x)=x + \frac{4}{x^2}.

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