Determinar as soluções para as equações diferenciais dos Problemas 11-15.
x^{2} \frac{d y}{d x}+x y=\operatorname{sen} x, y(1)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\,x^{2}\frac{dy}{dx}+x\,y=\sin x
com condição inicial \,y(1)=2.
Trata-se de uma equação linear de primeira ordem na forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Para resolver, vamos colocar em forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo toda a equação por \,x^{2} (para x\neq0) obtemos a forma padrão
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}\,y=\frac{\sin x}{x^{2}}.
Aqui P(x)=1/x, então o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\frac{1}{x}dx\Bigr)=x.

Passo 3

Multiplicando a forma padrão por \mu(x)=x temos
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr)=\frac{\sin x}{x}.
Agora integramos ambos os lados de t=1 até t=x:
\int_{1}^{x}\frac{d}{dt}\bigl(t\,y(t)\bigr)\,dt =\int_{1}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt.
Isso leva a
x\,y-1\cdot y(1)=\int_{1}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt.
Como y(1)=2, segue
x\,y=2+\int_{1}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt.

Passo 4

Para isolar y, dividimos ambos os lados por x:
y(x)=\frac{2+\displaystyle\int_{1}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt}{x}.

Resposta

y(x)=\displaystyle\frac{2+\int_{1}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt}{x}.

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