8-a) Mostre que
é uma solução geral de
.
b) Mostre que
é uma solução particular de
.
c) Se
é qualquer solução geral de
e
é qualquer solução particular de
, então mostre que
é uma solução geral de
.
b) Mostre que
c) Se
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial linear de primeira ordem
e pede para mostrar:
a) que é a solução geral da homogênea
;
b) que
a) que
b) que
é uma solução particular de
;
c) que a soma é a solução geral de
.
Vamos usar o método do fator integrante e propriedades de derivação de produto.
c) que a soma
Vamos usar o método do fator integrante e propriedades de derivação de produto.
Passo 2
Para a homogênea definimos
de modo que
Calculamos a derivada:
Logo
confirmando que
satisfaz a homogênea. Como
é constante arbitrária,
é a solução geral.
Passo 3
Para a particular escolhemos o fator integrante
Definimos
Derivando e usando regra do produto inverso:
Portanto
mostrando que
é solução particular.
Passo 4
Seja agora
Então, usando linearidade,
Como
contém a constante arbitrária
,
é a solução geral de
.
Resposta
A solução geral de
é