8-a) Mostre que y_{c}(x)=C e^{-\int P(x) d k} é uma solução geral de y^{\prime}+P(x) y=0.
b) Mostre que \mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{-\int \mathrm{P}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}}\left[\int\left(\mathrm{Q}(\mathrm{x}) \mathrm{e}^{\int \mathrm{P}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}}\right) \mathrm{dx}\right] é uma solução particular de y^{\prime}+P(x) y=Q(x).
c) Se y_{c}(x) é qualquer solução geral de y^{\prime}+P(x) y=0 e y_{p}(x) é qualquer solução particular de y^{\prime}+P(x) y=Q(x), então mostre que y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x) é uma solução geral de y^{\prime}+P(x) y=Q(x).

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial linear de primeira ordem
y'(x) + P(x)\,y(x) = Q(x)
e pede para mostrar:
a) que y_{c}(x)=C e^{-\int P(x)\,dx} é a solução geral da homogênea y'+P\,y=0;
b) que
y_{p}(x) = e^{-\int P(x)\,dx}\, \Bigl[\int Q(x)\,e^{\int P(x)\,dx}\,dx\Bigr]
é uma solução particular de y'+P\,y=Q;
c) que a soma y=y_{c}+y_{p} é a solução geral de y'+P\,y=Q.
Vamos usar o método do fator integrante e propriedades de derivação de produto.

Passo 2

Para a homogênea definimos
I(x)=\int P(x)\,dx,
de modo que
y_{c}(x) = C\,e^{-I(x)}.
Calculamos a derivada:
y_{c}'(x) = C\,\bigl(-I'(x)\bigr)\,e^{-I(x)} = -P(x)\,C\,e^{-I(x)} = -P(x)\,y_{c}(x).
Logo
y_{c}'(x)+P(x)\,y_{c}(x) = -P(x)\,y_{c}(x)+P(x)\,y_{c}(x) =0,
confirmando que y_{c} satisfaz a homogênea. Como C é constante arbitrária, y_{c} é a solução geral.

Passo 3

Para a particular escolhemos o fator integrante
\mu(x)=e^{I(x)}.
Definimos
y_{p}(x) = e^{-I(x)}\int Q(x)\,e^{I(x)}\,dx =\mu^{-1}(x)\int Q(x)\,\mu(x)\,dx.
Derivando e usando regra do produto inverso:
y_{p}'(x) = -I'(x)e^{-I(x)}\int Q\,e^{I}\,dx +e^{-I(x)}\bigl[Q(x)e^{I(x)}\bigr] = -P(x)\,y_{p}(x) + Q(x).
Portanto
y_{p}'(x)+P(x)\,y_{p}(x)=Q(x),
mostrando que y_{p} é solução particular.

Passo 4

Seja agora
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x).
Então, usando linearidade,
y'(x)+P(x)\,y(x) =\bigl[y_{c}'+P\,y_{c}\bigr] +\bigl[y_{p}'+P\,y_{p}\bigr] =0+Q(x) =Q(x).
Como y_{c} contém a constante arbitrária C, y=y_{c}+y_{p} é a solução geral de y'+P\,y=Q.

Resposta

A solução geral de
y'(x)+P(x)\,y(x)=Q(x)
é
\boxed{% y(x) = C\,e^{-\displaystyle\int P(x)\,dx} +e^{-\displaystyle\int P(x)\,dx}\, \Bigl[\displaystyle\int Q(x)\,e^{\displaystyle\int P(x)\,dx}\,dx\Bigr]. }

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