Nos exercícios abaixo, encontre as soluções gerais das equações dadas.
\left(1-t^{2}\right) y^{\prime}-2 t y=1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
(1 - t^{2})\,y' - 2\,t\,y = 1
Trata-se de uma equação de primeira ordem e coeficientes variáveis, mas que pode ser colocada na forma linear padrão

Passo 2

Dividimos tudo por 1 - t^{2} (pressupondo t\neq\pm1) para obter
y' - \frac{2t}{1 - t^{2}}\,y = \frac{1}{1 - t^{2}}
Aqui p(t) = -\tfrac{2t}{1 - t^{2}} e q(t)=\tfrac{1}{1 - t^{2}}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int -\frac{2t}{1 - t^{2}}\,dt\Bigr) = 1 - t^{2}

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(t) temos
(1 - t^{2})\,y' - 2t\,y = 1
e o lado esquerdo é exatamente a derivada de (1 - t^{2})\,y. Assim,
\frac{d}{dt}\bigl[(1 - t^{2})\,y\bigr] = 1.

Passo 5

Integramos ambos os lados em t:
(1 - t^{2})\,y = \int 1\,dt = t + C,
onde C é a constante de integração. Finalmente, isolando y chega-mos à solução geral

Resposta

y(t) = \frac{t + C}{1 - t^{2}}.

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