Determinar as soluções para as equações diferenciais dos Problemas 11-15.
x^{2} \frac{d y}{d x}+x y=\operatorname{sen} x, y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x^{2}\frac{dy}{dx}+x\,y=\operatorname{sen} x
com a condição inicial y(1)=2.
O conteúdo aqui é reconhecer que se trata de uma equação linear na forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)
e usar o fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro dividimos toda a equação por x^{2} (válido para x\neq0) para pô-la na forma padrão:
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}\,y=\frac{\operatorname{sen} x}{x^{2}}.
Aqui identificamos P(x)=\tfrac{1}{x} e Q(x)=\tfrac{\operatorname{sen} x}{x^{2}}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int \tfrac{1}{x}\,dx\Bigr) =\exp(\ln x)=x.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x:
x\frac{dy}{dx}+y=\frac{\operatorname{sen} x}{x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x\,y, ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr)=\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,x=\operatorname{sen} x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x\,y=\int \operatorname{sen} x\,dx=-\cos x + C,
onde C é a constante de integração. Portanto a solução geral é
y(x)=\frac{-\cos x + C}{x}.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=2:
2=\frac{-\cos 1 + C}{1} \;\Longrightarrow\; C=2+\cos 1.
Substituindo em y(x), obtemos a solução particular.

Resposta

y(x)=\frac{2+\cos 1 - \cos x}{x}.

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