[raízes complexas conjugadas] Considere o pvi
\left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}(t)+y(t) & \equiv 0 \\\ y(0) & =0 \\\ y^{\prime}(0) & =1 \end{aligned}\right.
(a) Usando a Tentativa y(t)=C e^{\lambda t} mostre que \lambda deverá satisfazer a equação \lambda^{2}+1=0. (b) Use a fórmula de Euler e^{i t}=\cos (t)+i \operatorname{sen}(t) e a sua fórmula conjugada e^{-i t}=\cos (t)-i \operatorname{sen}(t) e imponha as condições iniciais para mostrar que a solução y(t) é dada por y(t)=\operatorname{sen}(t).

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
\begin{cases} y''(t)+y(t)=0,\\\ y(0)=0,\\\ y'(0)=1, \end{cases}
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e cujas raízes da equação característica são complexas conjugadas. Vamos (a) usar a tentativa exponencial y(t)=Ce^{\lambda t} para obter a equação característica e (b) usar a fórmula de Euler para escrever a solução geral em termos de \cos t e \sin t e impor as condições iniciais.

Passo 2

Adotando a tentativa y(t)=Ce^{\lambda t}, temos
y'(t)=C\lambda e^{\lambda t},\quad y''(t)=C\lambda^2 e^{\lambda t}.
Substituindo em y''+y=0
C\lambda^2 e^{\lambda t}+C e^{\lambda t}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2+1=0.

Passo 3

Da equação \lambda^2+1=0 seguem as raízes
\lambda=\pm i.
Portanto duas soluções fundamentais são e^{i t} e e^{-i t}, e a solução geral é
y(t)=C_1e^{i t}+C_2e^{-i t}.

Passo 4

Usando as fórmulas de Euler
e^{i t}=\cos t+i\sin t,\quad e^{-i t}=\cos t-i\sin t,
temos
y(t) =C_1(\cos t+i\sin t)+C_2(\cos t-i\sin t) =(C_1+C_2)\cos t +i(C_1-C_2)\sin t.

Passo 5

Impondo y(0)=0 e y'(0)=1:
y(0)=(C_1+C_2)\cdot1+ i(C_1-C_2)\cdot0=C_1+C_2=0,
y'(t) =-(C_1+C_2)\sin t +i(C_1-C_2)\cos t \quad\Longrightarrow\quad y'(0)=i(C_1-C_2)=1.
Logo
C_1+C_2=0, \quad i(C_1-C_2)=1\;\Longrightarrow\;C_1-C_2=-i.

Passo 6

Resolvendo
\begin{cases} C_1 + C_2 = 0, \\\ C_1 - C_2 = -i, \end{cases}
obtém-se C_1 = -\tfrac{i}{2} e C_2 = +\tfrac{i}{2}. Substituindo em
y(t) = (C_1 + C_2) \cos t + i (C_1 - C_2) \sin t resulta
y(t) = 0 \cdot \cos t + 1 \cdot \sin t = \sin t.

Resposta

y(t)=\sin t

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