Determinar as soluções para as equações diferenciais dos Problemas 11-15.
y^{\prime}+3 y=2 x e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' + 3\,y = 2x\,e^{-3x}.
Isto é um caso padrão de EDO linear do tipo
y' + p(x)\,y = q(x),
onde p(x)=3 e q(x)=2x\,e^{-3x}. Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int 3\,dx} = e^{3x}.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por \mu(x)=e^{3x}. Isso transforma o lado esquerdo na derivada do produto \mu(x)\,y:
e^{3x}\,y' + 3\,e^{3x}\,y = 2x\,e^{3x}\,e^{-3x} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(e^{3x}\,y\bigr)' = 2x.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{3x}\,y\bigr)' \,dx = \int 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{3x}\,y = x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y dividindo por e^{3x}:
y = e^{-3x}\,(x^2 + C).

Resposta

y(x) = \bigl(x^2 + C\bigr)\,e^{-3x}.

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