3^{a} Questão: (3 pontos) Considere a seguinte equação diferencial de ordem 3.
(3)
y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=2 x+1
i) (1 ponto) Determine a solução geral da equação diferencial homogênea associada.
ii) (2 pontos) Determine a solução geral da equação (3).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de ordem 3
y'''-6y''+11y'-6y=2x+1
e pede:
i) a solução geral da homogênea associada;
ii) a solução geral da eq. (3) completa.
Vamos usar equação característica para a parte homogênea e coeficientes indeterminados para encontrar uma particular.

Passo 2

Formamos a equação característica da homogênea
r^3-6r^2+11r-6=0
Fatorando, reconhecemos
r^3-6r^2+11r-6=(r-1)(r-2)(r-3)=0
Logo as raízes são
r=1,\;r=2,\;r=3.

Passo 3

Como as três raízes são reais e distintas, a solução geral da eq. homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x}.

Passo 4

Para a parte não homogênea com termo 2x+1, usamos coeficientes indeterminados e supomos uma solução particular polinomial de grau 1:
y_{p}(x)=Ax+B.
Calculamos as derivadas:
y_{p}'=A,\quad y_{p}''=0,\quad y_{p}'''=0.

Passo 5

Substituindo em
y'''-6y''+11y'-6y=2x+1
obtemos
0-6\cdot0+11A-6(Ax+B)=2x+1
\Longrightarrow 11A-6Ax-6B=2x+1.
Igualando coeficientes de x e constantes:
-6A=2,\qquad 11A-6B=1.
Da primeira vem A=-\tfrac{1}{3}. Substituindo na segunda:
11\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)-6B=1 \;\Longrightarrow\;- \tfrac{11}{3}-6B=1 \;\Longrightarrow\;-6B=\tfrac{14}{3} \;\Longrightarrow\;B=-\tfrac{7}{9}.

Passo 6

A solução geral da eq. (3) é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x} -\frac{1}{3}\,x-\frac{7}{9}.

Resposta

i) y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x}.
ii) y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x}-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{7}{9}.

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