Questão: (3 pontos) Considere a seguinte equação diferencial de ordem 3.
(3)
i) (1 ponto) Determine a solução geral da equação diferencial homogênea associada.
ii) (2 pontos) Determine a solução geral da equação (3).
(3)
ii) (2 pontos) Determine a solução geral da equação (3).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de ordem 3
e pede:
i) a solução geral da homogênea associada;
ii) a solução geral da eq. (3) completa.
Vamos usar equação característica para a parte homogênea e coeficientes indeterminados para encontrar uma particular.
i) a solução geral da homogênea associada;
ii) a solução geral da eq. (3) completa.
Vamos usar equação característica para a parte homogênea e coeficientes indeterminados para encontrar uma particular.
Passo 2
Formamos a equação característica da homogênea
Fatorando, reconhecemos
Logo as raízes são
Passo 3
Como as três raízes são reais e distintas, a solução geral da eq. homogênea é
Passo 4
Para a parte não homogênea com termo
, usamos coeficientes indeterminados e supomos uma solução particular polinomial de grau 1:
Calculamos as derivadas:
Passo 5
Substituindo em
obtemos
Igualando coeficientes de
e constantes:
Da primeira vem
. Substituindo na segunda:
Passo 6
A solução geral da eq. (3) é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
i)
ii)
ii)