2^{a} Questão: ( 3.5 ponfos) Considere a equação de movimento de um sistema massa-mola com amortecimento:
(2)
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=10 \cos (3 t)
i) (1 ponto) Determine a solução geral da equação diferencial homogênea associada.
ii) ( 2.5 pontos) Determine a solução geral da equação (2).
Passo 1
O enunciado dá a equação de movimento de um oscilador massa-mola com amortecimento e forçamento:
y'' + 2\,y' + 5\,y = 10\cos(3t).
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Primeiro vamos achar a solução geral da equação homogênea associada
y'' + 2\,y' + 5\,y = 0,
e depois encontramos uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Para resolver a homogênea fazemos a equação característica associada
r^2 + 2r + 5 = 0.
Calculamos o discriminante \Delta = 2^2 - 4\cdot1\cdot5 = 4 - 20 = -16, logo as raízes são complexas conjugadas
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2\,\mathrm{i}.
Para raízes r = \alpha \pm \beta\,\mathrm{i}, a solução geral homogênea é
Como o forçamento é \cos(3t), usamos o método dos coeficientes indeterminados e supomos
y_p(t) = A\cos(3t) + B\sin(3t),
em que A e B são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos derivadas de y_p:
y_p' = -3A\sin(3t) + 3B\cos(3t),
y_p'' = -9A\cos(3t) -9B\sin(3t).
Substituindo em y''+2y'+5y obtemos os coeficientes de \cos(3t) e de \sin(3t):
coeficiente de \cos(3t): -9A + 2\cdot3B +5A = -9A +6B+5A = -4A+6B,
coeficiente de \sin(3t): -9B +2\cdot(-3A)+5B = -9B -6A+5B = -6A-4B.
Queremos que isso seja igual a 10\cos(3t)+0\sin(3t), portanto o sistema é