1^{a} Questão: Resolva cada uma das seguintes integrais.
(15 pontos) \int\left(2 x^{3}+5 e^{x}+\sqrt[5]{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(2x^{3} + 5e^{x} + \sqrt[5]{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é a linearidade da integral (somar integrais) e as regras básicas: a regra do poder para x^{n} e a regra da exponencial.

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos em três integrais mais simples:
\int\bigl(2x^{3} + 5e^{x} + x^{1/5}\bigr)\,dx = \int 2x^{3}\,dx + \int 5e^{x}\,dx + \int x^{1/5}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int 2x^{3}\,dx, usamos a regra do poder \int x^{n}\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1}. Aqui n=3 e há o fator 2:
\int 2x^{3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{x^{4}}{2}.

Passo 4

Para \displaystyle \int 5e^{x}\,dx, lembramos que \int e^{x}\,dx = e^{x}. Então:
\int 5e^{x}\,dx = 5e^{x}.

Passo 5

Para \displaystyle \int x^{1/5}\,dx, aplicamos novamente a regra do poder com n = \tfrac{1}{5}:
\int x^{1/5}\,dx = \frac{x^{1/5 + 1}}{1/5 + 1} = \frac{x^{6/5}}{6/5} = \frac{5}{6}\,x^{6/5}.

Passo 6

Somando os três resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a antiderivada geral:
\frac{x^{4}}{2} + 5e^{x} + \frac{5}{6}\,x^{6/5} + C.

Resposta

\int\bigl(2x^{3} + 5e^{x} + \sqrt[5]{x}\bigr)\,dx = \frac{x^{4}}{2} + 5e^{x} + \frac{5}{6}\,x^{6/5} + C.

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