• ( 2,0 pts) Questāo 3. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha
\int_{C} y^{3} d x-x^{3} d y \quad \int_{c} \frac{\partial Q}{\partial x} \frac{\partial P}{\partial y} d A
ao longo do cîculo centrado na origem de raio 2 , orientado no sentido anti-horário…

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} y^{3}\,dx - x^{3}\,dy
onde C é o círculo de raio 2 centrado na origem, orientado no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que transforma
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy
na integral dupla sobre a região D limitada por C:
\iint_{D} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=y^{3}, \quad Q(x,y)=-x^{3}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-x^{3}) = -3x^{2}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^{3}) = 3y^{2}.

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
\int_{C} y^{3}\,dx - x^{3}\,dy = \iint_{D} \bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x} - \tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dA = \iint_{D} \bigl(-3x^{2} - 3y^{2}\bigr)\,dA = -3 \iint_{D} (x^{2}+y^{2})\,dA.

Passo 4

Usamos coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, x^{2}+y^{2}=r^{2}, dA=r\,dr\,d\theta, com 0\le r\le2 e 0\le\theta\le2\pi. Então
-3 \iint_{D} r^{2}\,dA = -3 \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} r^{2}\,(r\,dr\,d\theta) = -3 \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} r^{3}\,dr\,d\theta.
Calculamos
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{16}{4} =4, \qquad \int_{0}^{2\pi} d\theta =2\pi.
Logo,
-3 \times 4 \times 2\pi = -24\pi.

Resposta

-24\pi

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