Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
y^{\prime}+2 x y=x
y^{\prime}+2 x y=x
Passo 1
O enunciado pede: determinar as soluções gerais da equação diferencial
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. -
representa . - É requerida a solução geral (família de soluções com constante arbitrária).
Passo 2
Vamos reconhecer a forma da equação e a ferramenta que vamos usar (explicação didática).
A equação está na forma linear de primeira ordem
A equação está na forma linear de primeira ordem
onde, comparando termo a termo,
Uma técnica muito prática para resolver esse tipo de equação é o fator integrante
. A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Isso facilita porque então basta integrar ambos os lados.
Passo 3
Fórmula do fator integrante e cálculo.
O fator integrante é dado por
O fator integrante é dado por
Aqui
, então
Obs.: constantes aditivas na primitiva entram como fator multiplicativo em
, mas isso só muda
por uma constante multiplicativa que se anula ao resolver com a constante arbitrária final, então usamos
.
Passo 4
Multiplicando a equação original por
e escrevendo o lado esquerdo como derivada.
Multiplicando por obtemos
Multiplicando por
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, isto é,
Explicação:
e
, portanto a igualdade acima vale.
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
.
Integrando,
Integrando,
O lado esquerdo integra para
. No lado direito, fazemos uma substituição para calcular a integral:
defina então
, ou seja
. Assim
defina
onde
é a constante arbitrária de integração.
Portanto
Passo 6
Isolar
para obter a solução geral.
Dividindo por (que nunca é zero) obtemos
Dividindo por
Aqui
é uma constante real arbitrária. Essa expressão representa a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Interpretação em termos de solução homogênea e particular e verificação rápida.
- A solução geral da homogênea associada
é . - Uma solução particular pode ser escolhida como
(verificação: e , satisfeito). - Somando as duas obtemos
, que coincide com o resultado acima. - Se desejar verificar, basta substituir
e na equação inicial.