Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
y^{\prime}+2 x y=x

Passo 1

O enunciado pede: determinar as soluções gerais da equação diferencial
y'+2xy=x.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • y' representa \dfrac{dy}{dx}.
  • É requerida a solução geral (família de soluções com constante arbitrária).

Passo 2

Vamos reconhecer a forma da equação e a ferramenta que vamos usar (explicação didática).
A equação está na forma linear de primeira ordem
y'+p(x)\,y=q(x),
onde, comparando termo a termo,
p(x)=2x,\qquad q(x)=x.
Uma técnica muito prática para resolver esse tipo de equação é o fator integrante \mu(x). A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y(x). Isso facilita porque então basta integrar ambos os lados.

Passo 3

Fórmula do fator integrante e cálculo.
O fator integrante é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Aqui p(x)=2x, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int 2x\,dx\right)=\exp\!\left(x^{2}\right)=e^{x^{2}}.
Obs.: constantes aditivas na primitiva entram como fator multiplicativo em \mu, mas isso só muda \mu por uma constante multiplicativa que se anula ao resolver com a constante arbitrária final, então usamos \mu(x)=e^{x^{2}}.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(x) e escrevendo o lado esquerdo como derivada.
Multiplicando por e^{x^{2}} obtemos
e^{x^{2}}y'+2x e^{x^{2}}y = x e^{x^{2}}.
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{x^{2}}y, isto é,
\bigl(e^{x^{2}}y\bigr)' = x e^{x^{2}}.
Explicação: \bigl(e^{x^{2}}y\bigr)' = e^{x^{2}}y' + (e^{x^{2}})'\,y e (e^{x^{2}})' = 2x e^{x^{2}}, portanto a igualdade acima vale.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x.
Integrando,
\int \bigl(e^{x^{2}}y\bigr)'\,dx = \int x e^{x^{2}}\,dx.
O lado esquerdo integra para e^{x^{2}}y. No lado direito, fazemos uma substituição para calcular a integral:
defina u=x^{2} então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Assim
\int x e^{x^{2}}\,dx = \int e^{u}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}e^{u} + C = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C,
onde C é a constante arbitrária de integração.
Portanto
e^{x^{2}}y = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C.

Passo 6

Isolar y(x) para obter a solução geral.
Dividindo por e^{x^{2}} (que nunca é zero) obtemos
y(x)=\frac{1}{2} + C e^{-x^{2}}.
Aqui C é uma constante real arbitrária. Essa expressão representa a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Interpretação em termos de solução homogênea e particular e verificação rápida.
  • A solução geral da homogênea associada y'+2xy=0 é y_{h}(x)=C e^{-x^{2}}.
  • Uma solução particular pode ser escolhida como y_{p}(x)=\dfrac{1}{2} (verificação: y_{p}'=0 e 2x y_{p}=2x\cdot\dfrac{1}{2}=x, satisfeito).
  • Somando as duas obtemos y=y_{p}+y_{h}=\dfrac{1}{2}+C e^{-x^{2}}, que coincide com o resultado acima.
  • Se desejar verificar, basta substituir y e y' na equação inicial.

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}+C e^{-x^{2}},\qquad C\in\mathbb{R}.

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