Determinar se o subconjunto dado H do espaço vetorial V é um subespaço.
V=R^3 ; H= o plano xy.

Passo 1

O enunciado quer verificar se o subconjunto
;H = (x,y,z)in R^3 mid z=0
(do plano xy em R^3) é um subespaço de V = R^3. Para isso, usamos a definição: um subconjunto H de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. 0in H.
  2. u,vin H implica u+vin H.
  3. Para todo alphainR e uin H, tem-se alpha uin H.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo 0 = (0,0,0) pertence a H. Como a componente z de (0,0,0) é 0, temos (0,0,0)in H. Logo a condição (1) está satisfeita.

Passo 3

Escolhemos dois vetores genéricos em H: u = (x1,y1,0) e v = (x2,y2,0). Então
u + v = (x1,y1,0) + (x2,y2,0) = (x1 + x2,;y1 + y2,;0 + 0) = (x1 + x2,;y1 + y2,;0)
Como a terceira componente continua zero, u+vin H. Assim, H é fechado sob adição, satisfazendo (2).

Passo 4

Tomamos alphainR e um vetor arbitrário u=(x,y,0)in H. Então
alpha u = alpha,(x,y,0) = (alpha x,;alpha y,;alphacdot 0) = (alpha x,;alpha y,;0)
A terceira componente permanece zero, logo alpha uin H. Isso prova o fechamento sob multiplicação por escalar, condição (3).

Passo 5

Como H contém o vetor nulo, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que H é um subespaço de R^3.

Resposta

H é subespaço de V = R^3.

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