Determinar se o subconjunto dado
do espaço vetorial
é um subespaço.
o plano
.
Passo 1
O enunciado quer verificar se o subconjunto
(do plano em
) é um subespaço de
. Para isso, usamos a definição: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se
(do plano
-
. -
implica . - Para todo
e , tem-se .
Passo 2
Verificamos se o vetor nulo
pertence a
. Como a componente
de
é
, temos
. Logo a condição (1) está satisfeita.
Passo 3
Escolhemos dois vetores genéricos em
:
e
. Então
Como a terceira componente continua zero,
. Assim,
é fechado sob adição, satisfazendo (2).
Passo 4
Tomamos
e um vetor arbitrário
. Então
A terceira componente permanece zero, logo
. Isso prova o fechamento sob multiplicação por escalar, condição (3).
Passo 5
Como
contém o vetor nulo, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.