Determinar se o subconjunto dado H do espaço vetorial V é um subespaço.
V=Pn;
H=p in Pn mid p(0)=0 e p^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = Pn (polinômios de grau <= n) e o subconjunto
H = ,pin Pnmid p(0)=0 e p'(0)=0
Queremos verificar se H é subespaço de V. Para isso, vamos checar (i) que o polinômio zero está em H, (ii) fechamento sob soma e (iii) fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o polinômio zero 0(x)=0 pertence a H, pois
0(0)=0 e 0'(0)=0

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam p,qin H. Então
(p+q)(0)=p(0)+q(0)=0+0=0 e (p+q)'(0)=p'(0)+q'(0)=0+0=0
Logo p+qin H.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja alphainR e pin H. Então
(alpha p)(0)=alpha,p(0)=alphacdot0=0 e (alpha p)'(0)=alpha,p'(0)=alphacdot0=0
Logo alpha pin H.

Passo 5

Como H contém o polinômio zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que H é subespaço de V.

Resposta

Sim. H é subespaço de Pn.

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