Seja V o conjunto de todas as matrizes A2 times 2=[lla & b c & d] tais que o produto abcd=0. Seja a operação oplus a soma de matrizes padrão e odot a multiplicação de matrizes por escalar padrão.
Qual é o vetor nulo no conjunto V?

Passo 1

O enunciado define
V como o conjunto de todas as matrizes
A = a & b c & d
de ordem 2times2 tais que a,b,c,d=0. A operação oplus é a soma usual de matrizes e odot é a multiplicação por escalar usual. O que queremos encontrar é o vetor nulo (elemento neutro aditivo) em V.

Passo 2

Por definição de espaço vetorial, o vetor nulo O deve satisfazer, para toda matriz Ain V,
A oplus O ;=; Ae Ooplus A = A
Além disso, esse vetor nulo precisa pertencer a V, ou seja, suas entradas devem satisfazer a condição do produto igual a zero.

Passo 3

Na soma usual de matrizes, a matriz que não altera é a matriz cujas entradas são todas zero. Chamamos essa matriz de matriz nula:
De fato, para qualquer
,
temos
E o produto das entradas de é
logo .

Resposta

0 & 0 0 & 0

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