Seja V espaço vetorial das funções f: R R.
e^t, e^2 t são LI ou LD?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções e^t,,e^2t em V, espaço vetorial das funções RtoR, é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear nula deve levar somente à solução trivial.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica igual a zero para todo t:
alpha,e^t + beta,e^2t = 0,forall tinR,
onde alpha e beta são escalares. Queremos mostrar que alpha=beta=0.

Passo 3

Para obter um sistema de equações, avaliamos a identidade em dois valores distintos de t. Primeiro em t=0:
alpha,e^0 + beta,e^0 = alpha + beta = 0
Depois em t=1:
alpha,e^1 + beta,e^2 = 0

Passo 4

Do sistema
alpha + beta = 0, alpha e + beta e^2 = 0,
da primeira equação vem beta = -alpha. Substituindo na segunda:
alpha e + (-alpha)e^2 = alpha,(e - e^2) = 0
Como e - e^2 = e(1 - e)neq 0, segue alpha=0 e, portanto, beta=0.

Resposta

As funções e^t e e^2t são linearmente independentes.

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