Seja V espaço vetorial das funções f: R R.
Consideremos f(t)=e^2 t, g(t)=t^3 e h(t)=t. Os vetores f, g, h são LI ou LD?

Passo 1

O enunciado diz que estamos no espaço vetorial V de todas as funções RtoR e define
f(t)=e^2t, g(t)=t^3e, h(t)=t
Queremos ver se o conjunto f,g,h é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Para isso, vamos usar a definição: são LI se
a,f(t)+b,g(t)+c,h(t)=0forall tinR
implica a=b=c=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear nula:
a,e^2t+b,(t^3e)+c,t=0 para todo tinR
Nosso objetivo é mostrar que a=b=c=0.

Passo 3

Note que e^2t cresce exponencialmente e t^3e e t são polinomiais em t. Dividindo a identidade acima por e^2t e levando tto+infty, os termos dfract^3ee^2t e dfracte^2t tendem a zero. Logo,
limtto+inftyl(a + b,t^3ee^2t + c,te^2tr) =a=0
Portanto a=0.

Passo 4

Substituindo a=0 na combinação original, fica
b,(t^3e)+c,t=0 forall t
Isto é um polinômio em t igual a zero identicamente. Então todos os coeficientes devem ser zero. Em particular o coeficiente de t^3
b,e=0Longrightarrow b=0,
e o coeficiente de t
c=0

Passo 5

Encontramos a=b=c=0 como única solução da combinação linear nula. Logo as funções f,g,h são linearmente independentes.

Resposta

As funções f(t)=e^2t, g(t)=t^3e e h(t)=t são linearmente independentes.

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