Seja V espaço vetorial das funções
.
Consideremos
. Os vetores
são LI ou LD?
Consideremos
Passo 1
O enunciado diz que estamos no espaço vetorial
de todas as funções
e define
Queremos ver se o conjunto
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Para isso, vamos usar a definição: são LI se
implica
.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear nula:
Nosso objetivo é mostrar que
.
Passo 3
Note que
cresce exponencialmente e
e
são polinomiais em
. Dividindo a identidade acima por
e levando
, os termos
e
tendem a zero. Logo,
Portanto
.
Passo 4
Substituindo
na combinação original, fica
Isto é um polinômio em
igual a zero identicamente. Então todos os coeficientes devem ser zero. Em particular o coeficiente de
dá
e o coeficiente de
dá
Passo 5
Encontramos
como única solução da combinação linear nula. Logo as funções
são linearmente independentes.
Resposta
As funções
,
e
são linearmente independentes.