Determinar a temperatura
numa barra infinita,
, de condutividade térmica
sob a condição inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a temperatura
numa barra infinita onde a condutividade térmica
. O ponto de partida é a condição inicial
. Para isso, vamos usar conceitos de Equação do Calor e Transformada de Fourier, que nos ajudam a resolver problemas de dispersão de calor em meios contínuos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação que descreve a condução de calor numa barra infinita. Ela é dada por:
Como
, nossa equação fica:
Essa é a chamada Equação de Difusão ou Equação do Calor.
Passo 3
Para resolver essa equação com a condição inicial dada, vamos usar a Transformada de Fourier. A ideia é transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver. Primeiro, definimos a transformada de Fourier de
como:
Aplicando a transformada de Fourier na equação do calor, obtemos:
Passo 4
Agora, resolvemos essa equação diferencial simples em
. A solução para
é:
Aqui,
é a transformada de Fourier da condição inicial
.
Passo 5
Precisamos agora encontrar
. A transformada de Fourier de
pode ser encontrada utilizando tabelas de transformadas ou técnicas de integração complexa. Vamos supor que conseguimos expressar
em termos de funções conhecidas.
Passo 6
Com
determinada, voltamos para o espaço original aplicando a Transformada Inversa de Fourier:
Essa integral nos dá a solução para a temperatura
na barra infinita para qualquer
.
Resposta
A temperatura na barra infinita é dada por:
Essa expressão representa a solução da equação do calor com a condição inicial
.