Determinar a temperatura u(x, t) numa barra infinita, -infty<x<+infty, de condutividade térmica alpha=1 sob a condição inicial
u(x, 0)=1x^4+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a temperatura u(x, t) numa barra infinita onde a condutividade térmica alpha = 1 . O ponto de partida é a condição inicial u(x, 0) = 1x^4+1 . Para isso, vamos usar conceitos de Equação do Calor e Transformada de Fourier, que nos ajudam a resolver problemas de dispersão de calor em meios contínuos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação que descreve a condução de calor numa barra infinita. Ela é dada por:
partial upartial t = alpha partial^2 upartial x^2
Como alpha = 1 , nossa equação fica:
partial upartial t = partial^2 upartial x^2
Essa é a chamada Equação de Difusão ou Equação do Calor.

Passo 3

Para resolver essa equação com a condição inicial dada, vamos usar a Transformada de Fourier. A ideia é transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver. Primeiro, definimos a transformada de Fourier de u(x, t) como:
u(k, t) = integral-infty^+infty u(x, t) e^-ikx dx
Aplicando a transformada de Fourier na equação do calor, obtemos:
partial upartial t = -k^2 u

Passo 4

Agora, resolvemos essa equação diferencial simples em t . A solução para u(k, t) é:
u(k, t) = u(k, 0) e^-k^2 t
Aqui, u(k, 0) é a transformada de Fourier da condição inicial u(x, 0) = 1x^4+1 .

Passo 5

Precisamos agora encontrar u(k, 0) . A transformada de Fourier de 1x^4+1 pode ser encontrada utilizando tabelas de transformadas ou técnicas de integração complexa. Vamos supor que conseguimos expressar u(k, 0) em termos de funções conhecidas.

Passo 6

Com u(k, t) determinada, voltamos para o espaço original aplicando a Transformada Inversa de Fourier:
u(x, t) = 12pi integral-infty^+infty u(k, 0) e^-k^2 t e^ikx dk
Essa integral nos dá a solução para a temperatura u(x, t) na barra infinita para qualquer t > 0 .

Resposta

A temperatura na barra infinita é dada por:
u(x, t) = 12pi integral-infty^+infty e^-k^2 tk^4 + 1 e^ikx dk
Essa expressão representa a solução da equação do calor com a condição inicial u(x, 0) = 1x^4+1 .

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