Encontre a raiz das funções abaixo considerando o método de Newton. Para o critério de parada use o erro relativo com precisão varepsilon=0.01
f(x)=raizx-5 e^-x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz da função f(x)=raizx - 5e^-x usando o método de Newton, com critério de parada dado pelo erro relativo varepsilon = 0.01. Vamos precisar da derivada de f(x) e da fórmula de iteração de Newton.

Passo 2

Derivando a função, obtemos
f'(x) = 12raizx + 5e^-x
A fórmula de iteração de Newton é
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)

Passo 3

Para escolher o palpite inicial x0, analisamos o sinal de f em pontos simples. Calculamos
f(1) = 1 - 5e^-1 approx -0.84,
f(2) = raiz2 - 5e^-2 approx 0.7373,
logo há mudança de sinal em [1,2]. Escolhemos então x0 = 1.5.

Passo 4

Primeira iteração: em x0 = 1.5 temos
f(x0) = raiz1.5 - 5e^-1.5 approx 0.1091,
f'(x0) = 12raiz1.5 + 5e^-1.5 approx 1.5237
Aplicando a iteração:
x1 = 1.5 - 0.10911.5237 approx 1.4284
O erro relativo é
|x1 - x0||x1| approx 0.05 ;(5%) > 0.01,
então ainda não satisfaz o critério.

Passo 5

Segunda iteração: em x1 approx 1.4284 calculamos
f(x1) = raiz1.4284 - 5e^-1.4284 approx -0.0042,
f'(x1) = 12raiz1.4284 + 5e^-1.4284 approx 1.6180
Logo
x2 = 1.4284 - -0.00421.6180 approx 1.4310
O erro relativo é
|x2 - x1||x2| approx 0.0018 ;(0.18%) < 0.01,
portanto o critério de parada é satisfeito.

Passo 6

O critério de erro relativo abaixo de varepsilon foi alcançado, então encerramos o método.

Resposta

1.4310

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