Determinar o tipo das seguintes equações diferenciais e indicar o método de resolução:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
l)
m)
,
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
l)
m)
Passo 1
O enunciado pede para cada equação diferencial de primeira ordem identificar o tipo (linear, separável, homogênea, de Bernoulli, exata, implícita etc.) e indicar qual ferramenta ou substituição devemos usar para resolvê-la.
Passo 2
a) Podemos escrever y′=−x
arctg(y/x)/(x+y). Como aparece arctg(y/x) e tudo depende da razão y/x, é uma equação homogênea de primeira ordem. Método: fazer y=ux ⇒ y′=u+x
u′ e separar variables em u e x.
arctg(y/x)/(x+y). Como aparece arctg(y/x) e tudo depende da razão y/x, é uma equação homogênea de primeira ordem. Método: fazer y=ux ⇒ y′=u+x
u′ e separar variables em u e x.
Passo 3
b) Reescrevendo y′=y²/(x−y) vemos que o lado direito é função de y/x só (grau zero em x,y). É também homogênea. Método: y=ux ⇒ y′=u+x
u′ e reduzimos a uma equação separável em u e x.
u′ e reduzimos a uma equação separável em u e x.
Passo 4
c) Colocando y′−2x
y=x³, está na forma y′+P(x)y=Q(x): linear de 1.ª ordem. Método: fator integrante μ(x)=e^{∫−2x
dx}=e^{−x²}.
y=x³, está na forma y′+P(x)y=Q(x): linear de 1.ª ordem. Método: fator integrante μ(x)=e^{∫−2x
dx}=e^{−x²}.
Passo 5
d) y′−2x
y=y³ é uma equação de Bernoulli (y′+P(x)y=Q(x)y^n com n=3). Método: z=y^{−2} para virar linha.
y=y³ é uma equação de Bernoulli (y′+P(x)y=Q(x)y^n com n=3). Método: z=y^{−2} para virar linha.
Passo 6
e) x
y′+y=sen
y ⇒ y′=(sen
y−y)/x. Dá para separar: dy/(sen
y−y)=dx/x. É separável.
y′+y=sen
y ⇒ y′=(sen
y−y)/x. Dá para separar: dy/(sen
y−y)=dx/x. É separável.
Passo 7
f) (y−2x
y′)²=(y′)³ é uma equação implícita algébrica em p=y′. Tipo: ODE implícita de primeira ordem resolvível por substituir p=y′, resolver a relação algébrica e usar dy=p
dx.
y′)²=(y′)³ é uma equação implícita algébrica em p=y′. Tipo: ODE implícita de primeira ordem resolvível por substituir p=y′, resolver a relação algébrica e usar dy=p
dx.
Passo 8
g) y=x
e^{y′} é outra equação implícita em p=y′. Método: p=y′ ⇒ y=x
e^p, diferenciar ambos os lados e eliminar y, obtendo uma eq. para p(x).
e^{y′} é outra equação implícita em p=y′. Método: p=y′ ⇒ y=x
e^p, diferenciar ambos os lados e eliminar y, obtendo uma eq. para p(x).
Passo 9
h) (y′−2x
y)√y=x³ ⇒ y′−2x
y=x³/√y. Fica y′+P(x)y=Q(x)y^n com n=−1/2, logo é Bernoulli. Método: z=y{1−n}=y{3/2}.
y)√y=x³ ⇒ y′−2x
y=x³/√y. Fica y′+P(x)y=Q(x)y^n com n=−1/2, logo é Bernoulli. Método: z=y{1−n}=y{3/2}.
Passo 10
i) y′=(x+y)²= x²·(1+y/x)² é homogênea de grau 0 em y/x. Método: y=ux ⇒ y′=u+x
u′ e separa.
u′ e separa.
Passo 11
j) x
cos
y′+y
sen
y′=x³ é uma ODE implícita em p=y′. Tipo: ODE de forma F(x,y,p)=0. Método: tomar p=y′, diferenciar implicita e resolver o sistema para x§,y§.
cos
y′+y
sen
y′=x³ é uma ODE implícita em p=y′. Tipo: ODE de forma F(x,y,p)=0. Método: tomar p=y′, diferenciar implicita e resolver o sistema para x§,y§.
Passo 12
l) (x²−x
y)y′=y^4 é uma equação não-linear de 1.ª ordem que não é linear nem homogênea nem separável, mas admite fator integrante. Método: buscar μ(x,y) que torne (x²−x
y)dy−y^4dx=0 exata.
y)y′=y^4 é uma equação não-linear de 1.ª ordem que não é linear nem homogênea nem separável, mas admite fator integrante. Método: buscar μ(x,y) que torne (x²−x
y)dy−y^4dx=0 exata.
Passo 13
m) (x²+2x
y^3)dx+(y²+3x²y²)dy=0 é exata pois ∂M/∂y=6x
y²=∂N/∂x. Método: integrar M em x e ajustar “constante” de y.
y^3)dx+(y²+3x²y²)dy=0 é exata pois ∂M/∂y=6x
y²=∂N/∂x. Método: integrar M em x e ajustar “constante” de y.
Resposta
a) homogênea (substituir y=ux)
b) homogênea (substituir y=ux)
c) linear de 1.ª ordem (fator integrante μ=e^{−x²})
d) Bernoulli (n=3, z=y^{−2})
e) separável (dy/(sen y−y)=dx/x)
f) implícita algébrica (p=y′, parametricamente)
g) implícita algébrica (p=y′, derivar implicita)
h) Bernoulli (n=−½, z=y^{3/2})
i) homogênea (substituir y=ux)
j) implícita em p=y′ (derivar implicita)
l) não-linear, usa fator integrante para tornar exata
m) exata (integrar M e completar φ(y)
b) homogênea (substituir y=ux)
c) linear de 1.ª ordem (fator integrante μ=e^{−x²})
d) Bernoulli (n=3, z=y^{−2})
e) separável (dy/(sen y−y)=dx/x)
f) implícita algébrica (p=y′, parametricamente)
g) implícita algébrica (p=y′, derivar implicita)
h) Bernoulli (n=−½, z=y^{3/2})
i) homogênea (substituir y=ux)
j) implícita em p=y′ (derivar implicita)
l) não-linear, usa fator integrante para tornar exata
m) exata (integrar M e completar φ(y)