Determinar todas as raízes de ordem cinco da unidade.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação z^5 = 1 no conjunto dos números complexos. O conteúdo usado aqui é o de forma polar de um número complexo e o uso da fórmula de Euler para encontrar as raízes de unidade.

Passo 2

Lembrando que todo número complexo z\neq0 pode ser escrito em forma polar como
z = r\,e^{i\theta},
onde r=|z| e \theta=\arg(z). Substituindo em z^5=1, obtemos
(r\,e^{i\theta})^5 = r^5\,e^{i5\theta} = 1.
Como 1 em forma polar é 1\cdot e^{i\cdot0} (ou e^{i2\pi m} para m\in\mathbb{Z}), igualamos módulo e argumento:
  1. r^5=1 r=1.
  2. 5\theta = 2\pi m para algum m\in\{0,1,2,3,4\} (basta esses valores distintos módulo 5).

Passo 3

Logo os argumentos são
\theta_m = \frac{2\pi m}{5},\quad m=0,1,2,3,4.
E as raízes são
z_m = e^{i\theta_m} = e^{i\frac{2\pi m}{5}} = \cos\!\bigl(\tfrac{2\pi m}{5}\bigr) + i\,\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi m}{5}\bigr).

Passo 4

Escrevendo explicitamente para cada m:
\begin{aligned} z_0 &= \cos(0) + i\sin(0) = 1,\\\ z_1 &= \cos\!\bigl(\tfrac{2\pi}{5}\bigr) + i\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{5}\bigr),\\\ z_2 &= \cos\!\bigl(\tfrac{4\pi}{5}\bigr) + i\sin\!\bigl(\tfrac{4\pi}{5}\bigr),\\\ z_3 &= \cos\!\bigl(\tfrac{6\pi}{5}\bigr) + i\sin\!\bigl(\tfrac{6\pi}{5}\bigr),\\\ z_4 &= \cos\!\bigl(\tfrac{8\pi}{5}\bigr) + i\sin\!\bigl(\tfrac{8\pi}{5}\bigr). \end{aligned}

Resposta

As cinco raízes de ordem cinco da unidade são
z_k = e^{i\frac{2\pi k}{5}} = \cos\!\bigl(\tfrac{2\pi k}{5}\bigr) + i\,\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi k}{5}\bigr), \quad k=0,1,2,3,4.

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