Um ponto P move-se numa direção anti-horária descrevendo um circulo no plano z com centro na origem e raio 1 . Se a transformação é w=z^{3}, mostre que quando P faz uma revolução completa, a imagem P 'de P no plano w faz três revoluções completas, numa direção anti-horária sobre um circulo de centro na origem e raio 1 .

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação no plano complexo dada por
w = z^{3}
e pede para mostrar que, quando P percorre uma volta completa no círculo de raio 1 centro na origem em sentido anti-horário (isto é, |z|=1 e \arg z aumenta de 0 a 2\pi), a imagem P' de P sob w descreve três voltas completas no círculo de raio 1 centro na origem, também em sentido anti-horário. Vamos usar a parametrização em termos do argumento de z.

Passo 2

Como P está no círculo de raio 1, podemos escrever
z = e^{i\theta},
onde \theta varia de 0 a 2\pi. Note que
|z| = 1 \quad\text{e}\quad \arg z = \theta.

Passo 3

Aplicando a transformação w=z^{3} obtemos
w = (e^{i\theta})^{3} = e^{i(3\theta)}.
Dessa forma |w| = |e^{i3\theta}| = 1 e \arg w = 3\theta.

Passo 4

Quando \theta vai de 0 a 2\pi, o argumento de w vai de
3\theta: \; 3\cdot0 = 0 \quad\text{até}\quad 3\cdot(2\pi) = 6\pi.é
Como cada volta completa corresponde a um incremento de 2\pi no argumento, um total de 6\pi equivale a três voltas 6\pi/(2\pi)=3. E como 3\theta cresce quando \theta cresce, o sentido permanece anti-horário.

Resposta

Quando P faz uma revolução completa em sentido anti-horário no círculo |z|=1, sua imagem P' faz exatamente três revoluções completas, também em sentido anti-horário, no círculo |w|=1.

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