Um ponto
move-se numa direção anti-horária descrevendo um circulo no plano
com centro na origem e raio 1 . Se a transformação é
, mostre que quando
faz uma revolução completa, a imagem
'de
no plano
faz três revoluções completas, numa direção anti-horária sobre um circulo de centro na origem e raio 1 .
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação no plano complexo dada por
e pede para mostrar que, quando
percorre uma volta completa no círculo de raio
centro na origem em sentido anti-horário (isto é,
e
aumenta de
a
), a imagem
de
sob
descreve três voltas completas no círculo de raio
centro na origem, também em sentido anti-horário. Vamos usar a parametrização em termos do argumento de
.
Passo 2
Como
está no círculo de raio
, podemos escrever
onde
varia de
a
. Note que
Passo 3
Aplicando a transformação
obtemos
Dessa forma
e
.
Passo 4
Quando
vai de
a
, o argumento de
vai de
Como cada volta completa corresponde a um incremento de
no argumento, um total de
equivale a três voltas
. E como
cresce quando
cresce, o sentido permanece anti-horário.
Resposta
Quando
faz uma revolução completa em sentido anti-horário no círculo
, sua imagem
faz exatamente três revoluções completas, também em sentido anti-horário, no círculo
.