Resolver a equação x^{3}+i=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação cúbica em números complexos
x^{3} + i = 0.
O conteúdo aqui é encontrar as raízes de uma equação polinomial em \mathbb{C}, usando a forma polar (exponencial) e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
x^{3} = -\,i.

Passo 3

Vamos escrever -\,i na forma exponencial. Observando o plano complexo, -\,i tem módulo 1 e argumento -\pi/2 (ou equivalentemente 3\pi/2). Logo,
-\,i = e^{\,i\bigl(-\frac{\pi}{2}\bigr)}.

Passo 4

Para achar as raízes cúbicas de e^{\,i(-\pi/2)}, usamos que se x^{3}=re^{\,i\theta} então
x_{k} = r^{1/3}\,e^{\,i\bigl(\frac{\theta + 2\pi k}{3}\bigr)},\quad k=0,1,2.
Aqui r=1 e \theta = -\tfrac{\pi}{2}, então
x_{k} = e^{\,i\bigl(\frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\bigr)}.

Passo 5

Agora, para cada k:
k =0:
x_{0} = e^{\,i\bigl(-\frac{\pi}{6}\bigr)} = \cos\!\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) + i\sin\!\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}.
k =1:
x_{1} = e^{\,i\bigl(\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi}{3}\bigr)} = e^{\,i\frac{3\pi/2}{3}} = e^{\,i\frac{\pi}{2}} = i.
k =2:
x_{2} = e^{\,i\bigl(\frac{-\frac{\pi}{2}+4\pi}{3}\bigr)} = e^{\,i\frac{7\pi/2}{3}} = e^{\,i\frac{7\pi}{6}} = \cos\!\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr) + i\sin\!\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}.

Resposta

x = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2},\quad x = i,\quad x = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}.

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