Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações diofantinas lineares:
1521 x+1955 y+455 z=22

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as soluções inteiras e positivas da equação
1521x + 1955y + 455z = 22.
Informações dadas:
1521,\;1955,\;455
são os coeficientes de x,y,z respectivamente, e o termo independente é \;22.
A condição “inteiras e positivas” significa que devemos procurar soluções com
x,\;y,\;z \in \mathbb{Z}\quad\text{e}\quad x\ge 1,\;y\ge 1,\;z\ge 1.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “positivas” com números inteiros: dizer que uma variável é positiva significa que o menor valor inteiro possível para ela é \;1. Portanto, se x,y,z são inteiras e positivas, cada uma delas satisfaz
x\ge 1,\qquad y\ge 1,\qquad z\ge 1.
Isso implica que cada termo da soma \;1521x,\;1955y,\;455z\; é pelo menos o coeficiente multiplicado por 1.

Passo 3

Calculemos o menor valor possível que o lado esquerdo pode assumir quando x,y,z são inteiras e positivas (ou seja, tomando x=y=z=1):
1521\cdot 1 + 1955\cdot 1 + 455\cdot 1 = 1521 + 1955 + 455.
Agora somamos os números passo a passo:
1521 + 1955 = 3476,
3476 + 455 = 3931.
Logo o mínimo possível do lado esquerdo, sob a hipótese x,y,z\ge 1, é \;3931.

Passo 4

Comparemos esse mínimo com o termo independente: temos
3931 > 22.
Isso significa que, se x,y,z fossem inteiras e positivas, o lado esquerdo seria no mínimo \;3931, o que não pode ser igual a \;22. Portanto não existe nenhuma tripla (x,y,z) de inteiras positivas que satisfaça a equação dada.

Passo 5

Discussão didática breve (como aplicar isso em outras questões): para equações diofantinas lineares com coeficientes positivos, se você impõe que todas as incógnitas sejam pelo menos \;1, então o menor valor possível do lado esquerdo é a soma dos coeficientes. Se essa soma supera o termo independente, não há solução no conjunto de inteiras positivas. Esse é um teste rápido e muito útil durante a prova para eliminar possibilidades sem trabalho algébrico pesado.

Resposta

Não existem soluções inteiras e positivas.

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