Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações diofantinas lineares:
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as soluções inteiras e positivas da equação
Informações dadas:
são os coeficientes de
respectivamente, e o termo independente é
.
A condição “inteiras e positivas” significa que devemos procurar soluções com
A condição “inteiras e positivas” significa que devemos procurar soluções com
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “positivas” com números inteiros: dizer que uma variável é positiva significa que o menor valor inteiro possível para ela é
. Portanto, se
são inteiras e positivas, cada uma delas satisfaz
Isso implica que cada termo da soma
é pelo menos o coeficiente multiplicado por
.
Passo 3
Calculemos o menor valor possível que o lado esquerdo pode assumir quando
são inteiras e positivas (ou seja, tomando
):
Agora somamos os números passo a passo:
Logo o mínimo possível do lado esquerdo, sob a hipótese
, é
.
Passo 4
Comparemos esse mínimo com o termo independente: temos
Isso significa que, se
fossem inteiras e positivas, o lado esquerdo seria no mínimo
, o que não pode ser igual a
. Portanto não existe nenhuma tripla
de inteiras positivas que satisfaça a equação dada.
Passo 5
Discussão didática breve (como aplicar isso em outras questões): para equações diofantinas lineares com coeficientes positivos, se você impõe que todas as incógnitas sejam pelo menos
, então o menor valor possível do lado esquerdo é a soma dos coeficientes. Se essa soma supera o termo independente, não há solução no conjunto de inteiras positivas. Esse é um teste rápido e muito útil durante a prova para eliminar possibilidades sem trabalho algébrico pesado.
Resposta
Não existem soluções inteiras e positivas.