Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações diofantinas lineares:
2 x+3 y+5 z=7

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as soluções inteiras e positivas da equação
2x+3y+5z=7.
Informações dadas e condições: x, y e z são inteiros positivos, ou seja x,y,z\in\mathbb{Z}_{>0}. Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Vamos usar um argumento de cotas (limites) muito simples: como x,y,z são inteiros positivos, o menor valor possível de cada um é 1. Então o menor valor possível do lado esquerdo da equação ocorre quando x=y=z=1. Calcule esse mínimo:
2x+3y+5z \ge 2\cdot 1 + 3\cdot 1 + 5\cdot 1 = 2+3+5 = 10.
Portanto, para quaisquer inteiros positivos x,y,z temos sempre 2x+3y+5z\ge 10.

Passo 3

A equação exige que 2x+3y+5z=7, mas pelo passo anterior o menor valor possível do lado esquerdo (quando x,y,z são positivos) é 10. Como 10>7, isso é impossível. Logo, não existe nenhuma tripla de inteiros positivos (x,y,z) que satisfaça a equação.

Resposta

Não existem soluções inteiras e positivas.

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