Um grupo de pessoas gastou 690 dólares num hotel. Sabendo-se que apenas alguns dos homens estavam acompanhados pelas esposas e que cada homem gastou 18
dólares e cada mulher gastou 15 dólares, pede-se determinar quantas mulheres e quantos homens estavam no hotel.
dólares e cada mulher gastou 15 dólares, pede-se determinar quantas mulheres e quantos homens estavam no hotel.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação: o gasto total no hotel foi
dólares. - Informação: cada homem gastou
dólares. - Informação: cada mulher gastou
dólares. - Informação qualitativa: “apenas alguns dos homens estavam acompanhados pelas esposas” — isto indica que as mulheres presentes são as esposas de alguns (mas não todos) dos homens presentes.
- Pedido: determinar quantas mulheres e quantos homens estavam no hotel (números inteiros não negativos).
Passo 2
Vamos traduzir as quantidades em variáveis e montar a equação do problema.
- Seja
o número de homens presentes (variável inteira, ). - Seja
o número de mulheres presentes (variável inteira, ).
O total gasto é a soma do que gastaram homens e mulheres, portanto a equação é:
Passo 3
Primeiro passo algébrico útil: simplificar a equação dividindo por um fator comum para facilitar os números.
Todos os coeficientes são divisíveis por . Dividindo ambos os lados por
obtemos:
Todos os coeficientes são divisíveis por
Explicação rápida: dividir por um divisor comum simplifica a aritmética sem alterar as soluções inteiras.
Passo 4
Vamos resolver essa equação diofantina linear. Uma técnica prática é trabalhar módulo
para eliminar
porque o coeficiente de
é
.
Tomando a equação módulo
:
Tomando a equação
Agora note que
e
(pois
). Logo:
Isto significa que
é múltiplo de
. Então podemos escrever
para algum inteiro
.
Passo 5
Substituímos
na equação simplificada
:
Isto dá
Dividindo tudo por
(novamente simplificando):
Isolando
:
Aqui
é inteiro. Para ter soluções válidas precisamos de
e
.
Passo 6
Vamos encontrar os valores possíveis de
que tornam
não-negativo:
Como
é inteiro e
, as possibilidades são
.
Agora calculamos e
para cada
:
Agora calculamos
- Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , .
Todos esses pares satisfazem a equação aritmética
. Vou verificar rapidamente um exemplo para ficar tranquilo:
Passo 7
Agora usamos a informação extra do enunciado sobre acompanhantes: “apenas alguns dos homens estavam acompanhados pelas esposas”.
Interpretação natural e razoável:
Interpretação natural e razoável:
- As mulheres presentes são esposas dos homens do grupo (não estamos considerando mulheres que não sejam esposas).
- “Apenas alguns dos homens” significa que nem todos os homens estavam acompanhados por suas esposas — logo o número de mulheres é menor que o número de homens.
Matematicamente, isso implica:
e, como são “apenas alguns” e não “todos”,
Passo 8
Aplicamos a condição
aos pares obtidos no Passo 6.
Verificação para cada par:
-
: → descarta (impossível: mais mulheres que homens e nenhum homem). -
: → descarta. -
: → descarta. -
: → descarta. -
: → descarta. -
: → atende a condição. -
: → atende a condição. -
: → atende a condição.
Portanto restam três soluções que satisfazem tanto a equação total quanto a condição de que somente alguns homens estavam acompanhados pelas esposas.
Passo 9
Vamos checar essas três soluções finais substituindo novamente na equação original para confirmar:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Todas conferem, portanto são soluções válidas e compatíveis com a informação sobre acompanhantes.