Um grupo de pessoas gastou 690 dólares num hotel. Sabendo-se que apenas alguns dos homens estavam acompanhados pelas esposas e que cada homem gastou 18
dólares e cada mulher gastou 15 dólares, pede-se determinar quantas mulheres e quantos homens estavam no hotel.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação: o gasto total no hotel foi \,690 dólares.
  • Informação: cada homem gastou \,18 dólares.
  • Informação: cada mulher gastou \,15 dólares.
  • Informação qualitativa: “apenas alguns dos homens estavam acompanhados pelas esposas” — isto indica que as mulheres presentes são as esposas de alguns (mas não todos) dos homens presentes.
  • Pedido: determinar quantas mulheres e quantos homens estavam no hotel (números inteiros não negativos).

Passo 2

Vamos traduzir as quantidades em variáveis e montar a equação do problema.
  • Seja \,m o número de homens presentes (variável inteira, \,m\ge 0).
  • Seja \,w o número de mulheres presentes (variável inteira, \,w\ge 0).
    O total gasto é a soma do que gastaram homens e mulheres, portanto a equação é:
18m + 15w = 690

Passo 3

Primeiro passo algébrico útil: simplificar a equação dividindo por um fator comum para facilitar os números.
Todos os coeficientes são divisíveis por \,3. Dividindo ambos os lados por \,3 obtemos:
6m + 5w = 230
Explicação rápida: dividir por um divisor comum simplifica a aritmética sem alterar as soluções inteiras.

Passo 4

Vamos resolver essa equação diofantina linear. Uma técnica prática é trabalhar módulo \,5 para eliminar \,w porque o coeficiente de \,w é \,5.
Tomando a equação \,6m + 5w = 230 módulo \,5:
6m \equiv 230 \pmod{5}.
Agora note que \,6 \equiv 1 \pmod{5} e \,230 \equiv 0 \pmod{5} (pois \,230=5\cdot46). Logo:
m \equiv 0 \pmod{5}.
Isto significa que \,m é múltiplo de \,5. Então podemos escrever \,m=5k para algum inteiro \,k.

Passo 5

Substituímos \,m=5k na equação simplificada \,6m+5w=230:
6(5k) + 5w = 230.
Isto dá
30k + 5w = 230.
Dividindo tudo por \,5 (novamente simplificando):
6k + w = 46.
Isolando \,w:
w = 46 - 6k.
Aqui \,k é inteiro. Para ter soluções válidas precisamos de \,m=5k\ge 0 e \,w\ge 0.

Passo 6

Vamos encontrar os valores possíveis de \,k que tornam \,w não-negativo:
46 - 6k \ge 0 \quad\Rightarrow\quad k \le \frac{46}{6} \approx 7{,}66.
Como \,k é inteiro e \,k\ge 0, as possibilidades são \,k=0,1,2,3,4,5,6,7.
Agora calculamos \,m=5k e \,w=46-6k para cada \,k:
  • Para \,k=0: \,m=0, \,w=46.
  • Para \,k=1: \,m=5, \,w=40.
  • Para \,k=2: \,m=10, \,w=34.
  • Para \,k=3: \,m=15, \,w=28.
  • Para \,k=4: \,m=20, \,w=22.
  • Para \,k=5: \,m=25, \,w=16.
  • Para \,k=6: \,m=30, \,w=10.
  • Para \,k=7: \,m=35, \,w=4.
Todos esses pares satisfazem a equação aritmética \,18m+15w=690. Vou verificar rapidamente um exemplo para ficar tranquilo:
18\cdot 25 + 15\cdot 16 = 450 + 240 = 690.

Passo 7

Agora usamos a informação extra do enunciado sobre acompanhantes: “apenas alguns dos homens estavam acompanhados pelas esposas”.
Interpretação natural e razoável:
  • As mulheres presentes são esposas dos homens do grupo (não estamos considerando mulheres que não sejam esposas).
  • “Apenas alguns dos homens” significa que nem todos os homens estavam acompanhados por suas esposas — logo o número de mulheres é menor que o número de homens.
    Matematicamente, isso implica:
w \le m \quad\text{(cada mulher é esposa de um homem presente)}é
e, como são “apenas alguns” e não “todos”,
w < m.

Passo 8

Aplicamos a condição \,w < m aos pares obtidos no Passo 6.
Verificação para cada par:
  • \,(m,w)=(0,46): \,46 \not< 0 → descarta (impossível: mais mulheres que homens e nenhum homem).
  • \,(5,40): \,40 \not< 5 → descarta.
  • \,(10,34): \,34 \not< 10 → descarta.
  • \,(15,28): \,28 \not< 15 → descarta.
  • \,(20,22): \,22 \not< 20 → descarta.
  • \,(25,16): \,16 < 25 → atende a condição.
  • \,(30,10): \,10 < 30 → atende a condição.
  • \,(35,4): \,4 < 35 → atende a condição.
Portanto restam três soluções que satisfazem tanto a equação total quanto a condição de que somente alguns homens estavam acompanhados pelas esposas.

Passo 9

Vamos checar essas três soluções finais substituindo novamente na equação original para confirmar:
  • Para \,(m,w)=(25,16):
18\cdot 25 + 15\cdot 16 = 450 + 240 = 690.
  • Para \,(m,w)=(30,10):
18\cdot 30 + 15\cdot 10 = 540 + 150 = 690.
  • Para \,(m,w)=(35,4):
18\cdot 35 + 15\cdot 4 = 630 + 60 = 690.
Todas conferem, portanto são soluções válidas e compatíveis com a informação sobre acompanhantes.

Resposta

(m,w)=(25,16)
(m,w)=(30,10)
(m,w)=(35,4)

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