Determinar todas as soluções inteiras das seguintes equações diofantinas lineares:
13 x-7 y=21

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as soluções inteiras da equação diofantina linear
13x-7y=21,
ou seja, encontrar todos os pares (x,y) com x,y\in\mathbb{Z} que satisfazem essa igualdade. Informação dada:
  • Coeficientes: 13 (multiplicando x) e -7 (multiplicando y);
  • Termo independente: 21;
  • Incógnitas: x,y inteiros.
    O objetivo é listar a descrição geral (paramétrica) de todos os pares inteiros (x,y) que resolvem a equação.

Passo 2

Pequena aula rápida (útil para qualquer equação linear ax+by=c):
  • Definição: uma equação diofantina linear tem a forma ax+by=c com a,b,c inteiros e pede soluções inteiras x,y.
  • Condição de existência: seja d=\gcd(a,b). A equação tem solução inteira se, e só se, d divide c (isto é, d\mid c).
  • Se existe uma solução particular (x_0,y_0), então todas as soluções inteiras são dadas por
x = x_0 + \frac{b}{d}\,t,\qquad y = y_0 - \frac{a}{d}\,t,
onde t\in\mathbb{Z}. Aqui d=\gcd(a,b). Explicando as variáveis:
  • a e b são os coeficientes originais;
  • d é o maior divisor comum de a e b;
  • (x_0,y_0) é qualquer solução inteira particular;
  • t é um parâmetro inteiro que gera todas as soluções a partir de (x_0,y_0).
    Essa fórmula vem de reescrever a equação depois de subtrair a solução particular e dividir por d; não é necessário decorar o porquê agora, só usar com calma.

Passo 3

Aplicando à nossa equação: a=13, b=-7. Primeiro calculamos d=\gcd(13,7) (note que \gcd(13,-7)=\gcd(13,7)).
Usando o algoritmo de Euclides:
13 = 1\cdot7 + 6,
7 = 1\cdot6 + 1,
6 = 6\cdot1 + 0.
Logo \gcd(13,7)=1. Como d=1 e 1 divide 21, existe solução inteira (na verdade existe infinidade).

Passo 4

Vamos achar uma solução particular de maneira simples (método modular, que é prático em provas):
Reduza a equação módulo 7. Como 7y\equiv 0\pmod{7}, da equação
13x-7y=21
segue
13x\equiv 21 \pmod{7}.
Calcule resíduos: 21\equiv 0\pmod{7} e 13\equiv -1\pmod{7}. Então
-1\cdot x \equiv 0 \pmod{7}\quad\Rightarrow\quad x\equiv 0 \pmod{7}.
Isto significa que existe um inteiro t tal que
x = 7t.
Agora substituímos x=7t na equação original:
13(7t)-7y=21.
Fatorando 7:
7\bigl(13t - y\bigr)=21.
Dividindo ambos os lados por 7 (isso é válido porque 7 divide o lado esquerdo explicitamente):
13t - y = 3.
Isolando y:
y = 13t - 3.
Portanto, para todo t\in\mathbb{Z} obtemos uma solução inteira (x,y)=(7t,\,13t-3). Isso produz todas as soluções porque já usamos o fato de que x\equiv0\pmod7 é obrigatório e então determinamos y unicamente a partir de t.

Passo 5

Verificação rápida com exemplos (pra te deixar mais confiante):
  • Se t=0: x=0, y=-3. Verificar: 13\cdot0-7(-3)=21 ok.
  • Se t=1: x=7, y=10. Verificar: 13\cdot7-7\cdot10=91-70=21 ok.
  • Se t=-1: x=-7, y=-16. Verificar: 13(-7)-7(-16)=-91+112=21 ok.
    Esses exemplos confirmam a fórmula e mostram que varrendo t\in\mathbb{Z} obtemos todas as soluções inteiras.

Resposta

x=7t,\\ y=13t-3,\quad t\in\mathbb{Z}

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