Mostre que a função abaixo é contínua em ( 0,0 ), mas não é diferenciável em nesse ponto.
f(x, y)=cc 2 y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfrac2y^3x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,& (x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que f é contínua em (0,0) mas não é diferenciável ali. Para isso vamos usar a definição de limite em R^2 para a continuidade, e a definição de diferenciabilidade (existência de linearização) para refutar a derivabilidade.

Passo 2

Para provar continuidade em (0,0) mostramos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
Se (x,y)neq(0,0), então
l|f(x,y)r| =|2y^3x^2+y^2| <= 2,|y|^3y^2 =2,|y|
Como |y|<=raizx^2+y^2, segue
|f(x,y)|<= 2,raizx^2+y^2,
que tende a 0 quando (x,y)to(0,0).

Passo 3

Do resultado acima temos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0),
logo f é contínua em (0,0).

Passo 4

Se f fosse diferenciável em (0,0), existir-ia um mapa linear L(x,y)=A,x+B,y tal que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2=0
É padrão que A e B seriam as derivadas parciais em (0,0). Vamos calculá-las:
– Na direção x (fixando y=0) temos f(x,0)=0, então
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =0
– Na direção y (fixando x=0) temos f(0,y)=2y, logo
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-0h =limhto02hh =2
Portanto o candidato à linearização seria
L(x,y)=0cdot x+2cdot y=2y

Passo 5

Para ver que f não é diferenciável, comparemos a direção u=(1,1)/raiz2. Se a diferenciabilidade valesse, a derivada direcional nessa direção teria de ser
Df(0,0;u)=nabla f(0,0)cdot u =(0,2)cdot(1,1)raiz2 =2raiz2=raiz2
Por outro lado, calculamos diretamente
fl(t,ur) =fl(tfractraiz2,tfractraiz2r) =2l(tfractraiz2r)^3l(tfractraiz2r)^2+l(tfractraiz2r)^2 =2,tfract^32raiz2t^2/2+t^2/2 =t^3/raiz2t^2 =traiz2
Logo a derivada direcional real é
limtto0f(t,u)-f(0,0)t =limtto0t/raiz2t =1raiz2,
que difere de raiz2. Isso contradiz a existência de uma única linearização.

Resposta

A função f é contínua em (0,0), mas não é diferenciável nesse ponto.

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