Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
\frac{3 x^{2}}{(x-5)^{2}-16} \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{3x^{2}}{(x-5)^{2}-16} \le 0.
Aqui o conteúdo é resolução de inequações envolvendo frações algébricas: precisamos identificar zeros do numerador (quando a expressão pode valer zero), zeros do denominador (pontos proibidos) e montar um quadro de sinais para a função.

Passo 2

Identificamos numerador e denominador separadamente.
O numerador é 3x^2, que zera em x=0.
O denominador é
(x-5)^{2}-16.
Fatorando, temos
(x-5)^{2}-16 = (x-5-4)\,(x-5+4) = (x-9)\,(x-1),
que se anula em
x=1\quad\text{e}\quad x=9.
Nos pontos x=1 e x=9 a expressão original é indefinida, então esses valores não podem ser incluídos na solução.

Passo 3

Vamos estudar o sinal de cada fator em cada intervalo determinado pelos pontos críticos -\infty,0,1,9,\infty:
  1. Fator 3x^2: é zero em x=0 e positivo para x\neq0.
  2. Fator (x-9)(x-1):
  • Para x<1: tanto x-9<0 quanto x-1<0, logo o produto é positivo.
  • Para 1<x<9: x-1>0 e x-9<0, logo o produto é negativo.
  • Para x>9: ambos fatores são positivos, logo o produto é positivo.
Assim o sinal de
f(x)=\frac{3x^2}{(x-9)(x-1)}
é dado por dividir o sinal de 3x^2 pelo sinal de (x-9)(x-1).

Passo 4

Queremos f(x)\le 0.
  • Onde (x-9)(x-1)<0 (isto é, em 1<x<9), o numerador é positivo (já que x\neq0), então f(x)<0. Esses x satisfazem a inequação.
  • Em x=0, o numerador zera e o denominador é (0-9)(0-1)=(+), então f(0)=0, que também satisfaz \le0.
  • Nos demais intervalos (-\infty,0), (0,1) e (9,\infty), tanto numerador quanto denominador são positivos, então f(x)>0 e não entram na solução.
  • Lembrar de excluir x=1 e x=9, onde a expressão não está definida.

Resposta

\{0\}\;\cup\;(1,9).

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