Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação racional
Aqui o conteúdo é resolução de inequações envolvendo frações algébricas: precisamos identificar zeros do numerador (quando a expressão pode valer zero), zeros do denominador (pontos proibidos) e montar um quadro de sinais para a função.
Passo 2
Identificamos numerador e denominador separadamente.
O numerador é , que zera em
O denominador é
O numerador é
O denominador é
Fatorando, temos
que se anula em
Nos pontos
e
a expressão original é indefinida, então esses valores não podem ser incluídos na solução.
Passo 3
Vamos estudar o sinal de cada fator em cada intervalo determinado pelos pontos críticos
:
- Fator
: é zero em e positivo para . - Fator
:
- Para
: tanto quanto , logo o produto é positivo. - Para
: e , logo o produto é negativo. - Para
: ambos fatores são positivos, logo o produto é positivo.
Assim o sinal de
é dado por dividir o sinal de
pelo sinal de
.
Passo 4
Queremos
.
- Onde
(isto é, em ), o numerador é positivo (já que ), então . Esses satisfazem a inequação. - Em
, o numerador zera e o denominador é , então , que também satisfaz . - Nos demais intervalos
, e , tanto numerador quanto denominador são positivos, então e não entram na solução. - Lembrar de excluir
e , onde a expressão não está definida.