Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
x^{2}-9 x+2 \leq-18

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
x^{2} - 9x + 2 \le -18.
O conteúdo principal envolve inequações quadráticas: vamos passar tudo para um lado, obter um polinômio do 2º grau, fatorar ou achar as raízes e, em seguida, analisar o sinal da parábola.

Passo 2

Primeiro, somamos 18 a ambos os lados para deixar tudo no lado esquerdo:
x^{2} - 9x + 2 + 18 \le 0
ou seja,
x^{2} - 9x + 20 \le 0.

Passo 3

Para resolver x^{2} - 9x + 20 \le 0, vamos achar as raízes da equação associada
x^{2} - 9x + 20 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1.
As raízes são
x = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2},
isto é, x = 4 e x = 5.

Passo 4

Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola abre para cima e a região onde x^{2} - 9x + 20 \le 0 fica entre as raízes. Logo, a solução da inequação é
4 \le x \le 5.

Resposta

[4,5]

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